Математика с Надеждой

Кто в детстве не делал снежинок из бумаги? Брали белый квадратик, складывали его несколько раз и вырезали затейливый узор. Развернув, получали нарядную симметричную снежинку. А какие фигуры можно получить, если разрешается сделать только ОДИН прямолинейный разрез, а бумагу можно складывать как угодно? Оказывается, любой многоугольник, граница которого состоит из конечного числа прямолинейных отрезков. Эту теорему доказал Erik Demaine на рубеже 20 и 21 веков. Скажем, одним разрезом из квадрата можно вырезать любую букву из названия этого канала...

Квадраты -- в смысле вторые степени. Как и о других маленьких числах, о двойках можно рассказать много интересных историй. Степени двойки, например, возникают во многих сюжетах. Или всякие разные дихотомии --- внутри и снаружи, справа и слева... Неожиданно много связей оказалось у сюжета про вторые степени -- но не натуральных чисел, а обратных к ним. Задача о суммировании ряда обратных квадратов была поставлена как вызов европейским математикам в 1644 году, и получила название Базельской задачи (Базель – город в Швейцарии)...

Очень многие отношения, с которыми мы встречаемся, транзитивны. Чтобы такое отношение описать, нам нужно три объекта. Например, транзитивно отношение «быстрее»: если Корней быстрее Матвея, а Матвей быстрее Пантелея, то Корней быстрее Пантелея Или возьмем отношение «выше», оно тоже транзитивно. Если Пантелей выше Корнея, а Корней выше Матвея, то Пантелей выше Матвея: Транзитивность так привычна, что нетранзитивные отношения нас удивляют. Вот кольца Борромео: Красное кольцо положили на зелёное, зелёное — на синее, а синее — на красное...

Можно ли раскрасить плоскость в два цвета красиво — то есть так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 были разного цвета? Вообразим, что можно: плоскость удалось раскрасить в два цвета красиво. Положим на нее правильный треугольник со стороной 1. Все его три вершины не могут быть разноцветными (вершин три, а цветов всего два), значит, есть две вершины одного цвета, а расстояние между ними 1 — вот мы и нашли изъян в раскраске. Итак, в два цвета плоскость раскрасить красиво нельзя. А в три? В четыре? В пять? ...

Золотое сечение -- это один из объектов-медиаторов, то и дело оно возникает в разных областях математики, и с числом 5 оно тоже связано. Мой любимый способ получить золотое сечение — завязать узелок-пятиугольник. Вот картинка из книги про цыплят с объяснением: Надо взять полоску бумаги шириной около двух сантиметров и начать завязывать её обыкновенным узлом. Узел затягивать медленно и аккуратно, расправляя его так, чтобы он был плоским. Чтобы получился пятиугольник, лишние концы можно загнуть. Если...