Наум Хрущев

Но хотя доктор Уэвелл не поколебал доктрину Стюарта относительно гипотетического характера той части первых принципов геометрии, которые включены в так называемые определения, я полагаю, что он имеет большое преимущество перед Стюартом в другом важном пункте теории геометрических рассуждений; необходимость признания среди этих первых принципов аксиом, а также определений. Некоторые из аксиом Евклида, без сомнения, могут быть представлены в форме определений или могут быть выведены путем рассуждений из предложений, подобных так называемым...

Однако они не могут не допустить, что истинность аксиомы о том, что две прямые линии не могут охватывать пространство, даже если [стр. 259]очевидна независимо от опыта, также очевидна из опыта. Нуждается ли аксиома в подтверждении или нет, она получает подтверждение почти в каждое мгновение нашей жизни; поскольку мы не можем смотреть на любые две прямые линии, которые пересекаются друг с другом, не видя, что с этой точки они продолжают расходиться все больше и больше. Экспериментальные доказательства...

На эти аргументы, которые, я надеюсь, меня нельзя обвинить в преуменьшении, я полагаю, будет найден удовлетворительный ответ, если мы обратимся к одному из характерных свойств геометрических форм—их способности быть нарисованными в воображении с отчетливостью, равной реальности: другими словами, точное сходство наших представлений о форме с ощущениями, которые их предполагают. Это, во-первых, позволяет нам создавать (по крайней мере, с небольшой практикой) мысленные изображения всех возможных комбинаций...

Хотя доктор Уэвелл естественно и правильно использовал различные фразы, чтобы более убедительно донести свой смысл, я полагаю, он допустит, что все они эквивалентны; и что то, что он подразумевает под необходимой истиной, было бы достаточно определено, утверждение, отрицание которого не только ложно, но и немыслимо. Я не могу найти ни в одном из его выражений, поворачивайте их как хотите, смысла, выходящего за рамки этого, и я не верю, что он стал бы утверждать, что они означают что-то большее. Таким...

Что касается законов движения, доктор Уэвелл говорит: “Никто не может сомневаться в том, что в историческом факте эти законы были собраны из опыта. То, что это так, не является предметом предположений. Мы знаем время, людей, обстоятельства, относящиеся к каждому этапу каждого открытия”47. После этих показаний приводить доказательства этого факта было бы излишним. И не только эти законы никоим образом не были интуитивно очевидны, но некоторые из них изначально были парадоксами. Особенно это касалось первого закона...

Теперь, в случае геометрической аксиомы, такие, например, как то, что две прямые линии не могут надеть пространство,—истину, которая свидетельствует нам от наших самых ранних впечатлений внешнего мира,—как это возможно (как внешних впечатлений быть или не быть земле нашей веры), что обратного тезиса может быть иным, чем непостижимым для нас? Какая аналогия у нас есть, какой аналогичный порядок фактов в любой другой области нашего опыта, чтобы облегчить нам представление о двух прямых линиях, охватывающих пространство? И даже это не все...

В то время как аксиомы демонстративных наук, таким образом, казались экспериментальными истинами, определения, как они есть [стр. 278]неправильно названные в этих науках, мы обнаружили, что они являются обобщениями из опыта, которые даже, строго говоря, не являются истинами; будучи высказываниями, в которых, в то время как мы утверждаем о каком-либо объекте, некотором свойстве или свойствах, которые, как показывает наблюдение, принадлежат ему, мы в то же время отрицаем, что он обладает какими-либо...

Тем не менее, при рассмотрении окажется, что этот, по-видимому, столь решающий пример вовсе не является примером; что на каждом шаге арифметического или алгебраического вычисления присутствует реальная индукция, реальное выведение фактов из фактов; и что скрывает индукцию просто ее всеобъемлющая природа и вытекающая из этого крайняя общность языка. Все числа должны быть числами чего-то: абстрактных чисел не существует. Десять должно означать десять тел, или десять звуков, или десять ударов пульса...

Мы можем, если нам угодно, назвать предложение “Три равно двум и одному” определением числа три и утверждать, что арифметика, как и утверждалось, что геометрия, является наукой, основанной на определениях. Но они являются определениями в геометрическом смысле, а не в логическом; они утверждают не только значение термина, но и вместе с ним наблюдаемый факт. Предложение: “Круг-это фигура, ограниченная линией, все точки которой одинаково удалены от точки внутри нее”, это называется определением круга;...

Поэтому то, что обычно называют математической достоверностью, которая включает в себя двоякую концепцию безусловной истины и совершенной точности, является атрибутом не всех математических истин, а только тех, которые относятся к чистому Числу, в отличие от Количества в более широком смысле; и только до тех пор, пока мы воздерживаемся от предположения, что числа являются точным показателем действительных величин. Уверенность, обычно приписываемая выводам геометрии и даже выводам механики, есть не что иное, как уверенность в выводе...