Такая разная математика

Хотя деления в поле действительных чисел и не существует, но задачи на делимость все же имеют место быть. Следующая задача как раз из таких. Условие: Пусть каждое из натуральных чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число n делится на куб некоторого своего простого делителя. Решение: Предположим противное: число n делится ровно на вторую степень каждого своего простого делителя. Тогда n=k², где k — произведение всех простых делителей n...

Задачи на взвешивая требуют от вас только умения рассуждать и немного считать. Такие задачи хоть и относятся к олимпиадным, но под силу любому желающему попробовать себя. Условие: Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивые — они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты также весят одинаково). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих монет? Решение: Разделим все монеты на пять равных кучек, в каждой из которых по 8 монет, и пронумеруем их...

Следующая задача относится к типу конструктивных. То есть таких задач в которых достаточно привести пример удовлетворяющий условию или доказать, что условие невыполнимо. Попробуйте решить задачу самостоятельно. Если возникнут трудности внизу есть подсказки. Условие: В наборе из пяти палочек ни из каких трех палочек нельзя составить треугольник. Могло ли так...

Графы это хорошо и здорово. Графы много где используются и существует множество олимпиадных задач про них. Но в данном случае граф будет использоваться только, как пример и никакие его свойства нам не понадобятся. Условие: В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой не более чем за k пересадок. При этом количество авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем k это возможно? Решение: Заметим, что потребуется сделать не менее двух пересадок...

Классическая олимпиадная задача на исследование квадратных уравнений. Наиболее эффективный способ такого исследования это теорема Виета (зачастую, но не всегда). Предыдущие задачи по теме: Задача 99, Задача 45. Условие: Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 в 2020 раз больше корней квадратного уравнения cx²+dx+a=0...