Зависимость ускорения от высоты
В школьном курсе физике нам говорили, что тело падает на землю равноускорено. Это утверждение формально верно, а фактически не совсем верно. Давайте разберемся почему.
Для этого, вспомним всемирный закон тяготения Ньютона.
Так как в этом законе рассматриваются не тела, а материальные точки, то расстояния тел берется не между их поверхностей, а между их центрами масс. В реальном космосе, когда расстояния межу телами намного больше, чем их размерами, то этим можно пренебречь. Но в близи планет и других небесных тел, этим пренебрегать нельзя.
Для простоты расчетов, будем считать планету идеальным шаром с постоянной по объему плотности. Конечно, такое тело встретить в космосе практически невозможно. Но если такую модель принять для нашей Земли, то принятый его средний радиус равен 6371.0км, а масса Земли равняется примерно 5.9726·10²⁴кг.
Так как между телами действует гравитационная сила, то по второму закону Ньютона получим:
Сокращая на M₂, получим:
Подставляя данные для Земли, получим ускорение свободного падения (оно, как правило, обозначается g) равным:
Из последнего равенства видно, что ускорение зависит от расстояния межу телами и обратно пропорционально его квадрату. Учитывая вышеупомянутое замечание, можно записать:
На высоте 828 метров – высота самого высокого здания на Земле – небоскреб Бурдж-Халифа в Дубае ускорение свободное значения будет:
то есть уменьшается менее чем 0.03%, чем можно пренебречь, и считать свободное падение равноускоренным, и считать по известным из школьной программы формулам для равноускоренного движения.
Даже на высоте 10км – на такой высоте приблизительно летают пассажирские самолеты – ускорение свободного падения будет:
То есть уменьшается примерно на 0.15%
Ниже приводится график зависимости ускорение свободного ускорения от высоты, приняв радиус Земли за единицу, то есть в зависимости от отношения высоты тела над поверхности Земли к ее радиусу
На высоте 1000км от поверхности Земли ускорение свободного падения уже составляет:
то есть уменьшилось уже на 14%, что существенно, и поэтому, падение с такой высоты на Землю надо вести уже по другим формулам, которые учитывают изменение ускорения свободного падения от высоты в поле тяготения Земли.
Вывод закона изменения скорости в зависимости от высоты.
Давайте найдем работу, которая совершит тело, падая на поверхность Земли. Из курса физики известно, что работа равна произведению силы на пройденный путь, а, если сила переменная, то работа равна интегралу силы по пройденному пути. В нашем случае работа будет ровна:
Кинетическая энергия тела равна:
Согласно закону сохранения энергии получим следующее:
Из последнего выражения мы можем найти закон изменения скорости падающего тела падающего с высоты h, если нулевая скорость тела была равна нулю:
Мы фактически нашли закон изменения скорости тела, падающего с высоты h тела с нулевой начальной скорости от координаты падающего тела с учетом изменения его ускорения в гравитационном поле Земли.
Дифференциальное уравнение и его решение
А из механики мы знаем, что скорость есть производная от пройденного пути. Так как у нас нулевая начальная скорость, то падающее тело будет двигаться по прямой, то движение его можно описать следующим дифференциальным уравнением:
Знак минус перед корнем поставлен потому, что с возрастанием скорости, координата (высота) уменьшается
Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимся переменными
Данное уравнение решается путем интегрирования обоих частей уравнения:
или
Данное выражение по сути является общим решением нашего дифференциального уравнения.
Чтобы не таскать всю правую часть для того, чтобы найти стоящий в ней неопределенный интеграл, выпишем интеграл с подынтегральным выражением отдельно, и найдем этот интеграл. И обозначим его буквой I
Несмотря на то, что он кажется сложным, он берется в элементарных функциях. Для этого сделаем следующую подстановку:
Чтобы найти дифференциал чему равен будет dx, если подставим нашу подстановку в интеграл I, найдем из последнего выражения x:
откуда
Дифференцируем последнее выражение: левую часть – по x; правую – по t
Теперь мы можем воспользоваться нашей подстановкой в наш интеграл:
Первый интеграл является табличным:
Второй интеграл:
Дифференцируя последнее равенства, получим:
Подставив нашу подстановку в интеграл, получим:
Здесь мы воспользовались формулой квадрата косинуса через косинус двойного угла. Ее легко вывести из формулы двойного угла (смотри статью “Формулы синуса и косинуса кратных углов.”):
Сделаем обратную подстановку. Но чтобы ее сделать, воспользуемся формулой, выражающей синус угла через тангенс половинного угла:
Подставив полученные выражения для интегралов I1 и I2 в интеграл I0, получим:
Чтобы получить выражение для интеграла I, сделаем обратную подстановку:
Подставим данное выражение в общее решение нашего дифференциального уравнения
получим
Данное выражение является окончательным общим решением нашего дифференциального уравнения.
Так же заметим, что при x=h выражение, стоящее в левой части общего решения, вроде неопределенно, так как знаменатель в арктангенсе обращается в ноль, но так как арктангенс от бесконечности равен π/2, то и придел в этой точки существует:
По условию задачи при x=h, t=0. Следовательно
Следовательно требуемое частное решение нашего дифференциального уравнения будет:
В этой формуле поверхность земли соответствует x=0, а начало движение начинается с высоты h. Поэтому, если мы в эту формулу подставим x=h, то получим 0.
Анализ полученного результата
Если по этой формуле рассчитать время падения с высоты 1000 километров, подставив данные, относящиеся к Земле, (x=0, и h=10⁶м) то время падения тела будет равным 510,05 секунды или 8 минут 30 секунда. А расчет времени падения с помощью "школьной" формулы, то есть без учета изменения ускорения от высоты поверхности, рассчитанное по известной со школы формуле:
при тех же данных дает 451.28 секунды или 7 минут и 31.3 секунды. Ошибка составляет 11.5%
что, согласитесь, уже существенно для некоторых расчетов.
Ниже приводится графики зависимостей времени падения тел от высоты, на которой была нулевая скорость, по выведенной (синяя линия) и "школьной" формулами.
Из графика видно, что до 30-40 км графики практически совпадают, то до этих высот вполне можно пользоваться упрощенной "школьной" формулой
Фактически мы получили обратную функцию закона движения падающего тела с большой высоты. Обычно закон движения есть функция координат от времени. Мы же получили функцию времени от координаты. В следующем посте я постараюсь вывести прямой закон движения тела, брошенного с большой высоты, но вывод формулы будет довольно необычен, но обоснован в дифференциальном исчислении.
До новых встеч
P/S Если вам нравится мой канал, и вы хотите его подержать, то вы можете перевести денежку на карту 2202 2036 8907 2918 Сбербанка