Переливание воды с определенными ограничениями - одна из любимых тем на олимпиадах по математике. Задачи доступны для 5-6 классов, хотя есть и посложнее. Встречаются даже на ЕГЭ по профильной математике. Решаются логически. Покажем на примерах.
Попроще
Задача 1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался ровно один литр воды?
Решение. Заметим, что 2 четное, а 5 нечетное. Дальше все просто: набираем 2 литра, переливаем в 5, еще раз и еще раз. В результате заполним емкость 5 литров, а в банке емкостью 2 литра останется 1 литр.
Иногда в задаче может быть несколько сосудов одинакового объема. Также рядом может быть источник воды. Вот пример.
Задача 2. Необходимо иметь 4 литра воды в фляге объемом 4 литра. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые и 3-литровые банки. Как с помощью одной банки 3 литра и одной банки 5 литров набрать 4 литра во флягу?
Решение. Наливаем в пятилитровую, переливаем в трехлитровую, трехлитровую выливаем, переливаем 2 литра из 5-литровой. Снова наливаем 5-литровую, доливаем 1 литр в трехлитровую и 4 литра наливаем в флягу. Всё.
Задача 3. Как, имея 5-литровое и 9-литровое ведра набрать из реки ровно три литра воды? Выливать в реку воду можно. Попробуйте решить сами. Ответ можно дать в комментарии.
И посложнее
Как можно решать такие задачи? Про чет-нечет я уже написал выше. Есть и другие методы. Например, составление таблицы или цепочки переливаний. Об этом немного позже. Можно использовать и диофантовы уравнения. Что это такое, описано здесь:
Посмотрим на примере.
Задача 4. Как с помощью банок объемами 5 и 7 литров набрать из озера 6 литров? Воду можно выливать.
Решение. Понятно, что 6 литров можно получить только в банке 7 литров. Поэтому уравнение будет выглядеть так: 7х-5у=6, где х - число переливаний из 7-литровой банки; у - число переливаний из 5-литровой банки. Подберем: х=3 и у=3. Дальше строим алгоритм переливаний.
Наливаем 7 литров, выливаем 5 литров в пятилитровую банку, остается 2 литра в семилитровой. Выливаем пятилитровую в озеро, наливаем туда 2 литра из семилитровой и снова наполняем пустую семилитровую из озера. Снова выливаем из 7 литровой в пятилитровую, но там уже 2 литра есть, поэтому в семилитровой останется уже 4 литра. При третьей такой итерации в семилитровой банке останется ровно 6 литров воды. Задача решена.
Сложновато? А кто говорил, что олимпиада по математике это легко? И в заключение статьи задача из профильного ЕГЭ по математике ("Решу ЕГЭ № 623358).
Задача 5. У Бори нет источника воды, но есть три ведра различных объемов, в двух из которых есть вода. За один шаг Боря переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.
а) Мог ли Боря через несколько шагов получить в одном из ведер ровно 2 литра воды, если сначала у него были ведра объемом 4 литра и 7 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом 8 литров?
б) Мог ли Боря через несколько шагов получить равные объемы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объемами 5 литров и 7 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом 10 литров?
Решение пункта а). Сделаем обозначения некой тройки чисел XYZ, где первое число объем воды в ведре 4 литра, второе - в ведре 7 литров, третье - в ведре 8 литров. Начальный код будет 470. Отсюда можно получить варианты 074 и 407. Двигаясь по этим направлениям в результате получим цепочку:
470-407-047-443-173-128. Задача решена.
Решение пункта б). Сначала поймем, что в ведрах должно быть по 4 литра воды (5+7):3=4. Дальше поймем, что у нас всегда должно быть хотя бы одно пустое или полное ведро по условиям задачи. ПРи варианте 4-4-4 таких ведер нет. Значит, нельзя.
Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.
Не благодарите. Впрочем, донаты никто не отменял. Тогда уже я буду благодарен