Диофант Александрийский — древнегреческий математик, которого нередко называют «отцом алгебры». Известен как автор «Арифметики» — труда, где собраны задачи на решение различных уравнений и методов их решения.
Что такое Диофантовы уравнения?
Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные или натуральные решения. Имеют большое практическое значение.
В высшей математике есть даже отдельное направление под названием целочисленное программирование. Ну а нам на школьном уровне нужно просто понимать, что не все в реальной жизни можно поделить. Так, например, реально нельзя построить 0,73 самолета, написать 0,84 книги, выделить 2,59 работника на работы, родить 1,14 ребенка. Но статистика может всё. И вот отягощенные умом вниз люди считают в дробях, а потом дивятся полученному результату. Как это, девять женщин за месяц ребенка не родили?
Но мы с вами люди разумные и понимаем, что дроби выросли из целых, а не целые из дробей. Подробнее здесь: https://dzen.ru/a/ahRB8wMeMBF5Ttl4
Простейшие уравнения решаются обычным подбором. Вот пример: решить в натуральных числах уравнение 5х+3у=11. Очевидно, что х и у очень маленькие. Быстро находим х=1 и у=2.
В общем виде уравнение записывается в виде ax+by=c, где х и у - неизвестные; a,b,c -коэффициенты и все 5 чисел целые (для школьных заданий обычно даже натуральные. Такие задачи (точнее, задачи, сводимые к Диофантовым уравнениям), встречаются сплошь и рядом и на олимпиадах, и в задании 19 профильного ЕГЭ. Вот пример прямо с сайта "Решу ЕГЭ" № 509428.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?
Никто вам, конечно, уравнение не составит. Придется самим. Вспоминаем, что такое арифметическая прогрессия. Последовательность а, а+с, а+2с. а+3с и так далее, где а - первый член прогрессии, а с - так называемая разность. У нас членов должно быть 3 или более. Посмотрим для 3 членов. Сумма 3а+3с=16. Такого быть не может, так как 16 не делится на 3. Посмотрим для 4 членов. Тут уже чистый "диофант": 4а+6с=16. Находим ответ практически устно: прогрессия 1;3;5;7.
Желающие потренироваться могут решить аналог для суммы членов 13.
Где в школе используются Диофантовы уравнения?
В обычной школе практически нигде. Да и зачем людям, знающим таблицу умножения со словарем, такие сложности. В математических классах кое-что дают, но не очень подробно. Обычные репетиторы, натаскивающие на ЕГЭ, не морочатся с "диофантом" и предлагают для приведенных выше задач простой перебор вариантов. Кстати, вполне себе рабочий способ решения. Но не всегда.
Вот задача № 509591 из "Решу ЕГЭ". Звучит так:
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа. Может ли выполняться равенство (a+c)/(b+d)=7/19?
Привожу свой оригинальный метод решения.
1. Упрощаем: f=a+c; g=b+d.
2. Получаем пропорцию f/g=7/19, что равносильно диофантовому уравнению: 7g=19f.
3. Такое уравнение в натуральных числах решается только если f делится нацело на 7, а g делится нацело на 19.
4. Берем f, которое делится на 7 и представляет собой сумму двух разных двухзначных чисел (например, 21-10+11). Находим е=19f=19*21=399. Находим g=399:7=57.
5. Из найденных f и g подбираем четверку нужных чисел (например, 10;20;11;37). Замечу, что в ответе на "Решу ЕГЭ" никакого алгоритмя нет, а лишь слово "пусть"...
Олимпиадные задания обычно сложнее ЕГЭ, хотя встречаются и простые. Как правило, там могут быть любые целые числа, включая 0. Вот примеры таких заданий:
Решите в целых числах:
4х+5у=1
5х-9у=24.
Решение или ответ можно дать в комментарии (как обычно).
Подводя итог
Диофантовы уравнения удобный инструмент приведения задачи к математической модели. Чем раньше жаждущий развития школьник начнет такие модели строить, тем лучше. Многое я расскажу со временем на этом канале. Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить. И не стесняйтесь задавать свои вопросы.
Не благодарите. Впрочем, донаты никто не отменял. Тогда уже я буду благодарен