Теория суперсимметрии (SUSY) предполагает, что у каждой частицы Стандартной модели существует суперпартнёр с теми же квантовыми числами (заряд, масса, взаимодействия), что и их «стандартный» аналог, за исключением спина (спин ─ это аналог углового момента в квантовой механике). При этом суперпартнёры, в частности, могут способствовать объединению фундаментальных взаимодействий (сил в природе), а суперпартнёр нейтрино может быть хорошим кандидатом на роль частицы тёмной материи (которая составляет около 85 % массы Вселенной). Однако до настоящего времени суперпартнёры НЕ наблюдаются даже при высоких энергиях, доступных знаменитому БАК. Это означает, что массы суперпартнёров значительно выше (в сотни, тысячи, миллионы и более раз), чем у их «стандартных» аналогов (т.е. суперсимметрия спонтанно нарушается). Тем не менее SUSY остаётся одной из наиболее перспективных и красивых гипотез в современной физике.
Однако математическое описание SUSY архисложное (практически недоступное большинству читателей). При этом мир натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … ─ их изучает самый «красивый» раздел высшей математики ─ теория чисел) показывает нам предельно простую «модель» также некого «суперпартнёрства», которое, возможно, (ну хотя бы отчасти) имеет отношение к устройству реального Мироздания (в части загадочных суперпартнёров из физики). Поэтому далее мы обратимся к миру чисел.
Итак, речь пойдёт исключительно про Ствол (Пирамиды делителей, см. рис. 1), поскольку у всякого натурального числа N именно в Стволе находятся все его малые делители (d), которые полностью определяют все параметры числа N (его большие делители, тип, и т.д.). Малые делители числа N по определению не превосходят его радиус Ствола равный R = [N^0,5], то есть корень квадратный из числа N, точнее говоря, целую часть из корня (об этом здесь говорят квадратные скобки). Например, у числа N = 252 мы получаем N^0,5 = 252^0,5 = 15,8…, поэтому для числа N = 252 радиус Ствола будет такой R = [15,8…] = 15, и таким же будет количество всех камней (чёрных и серых) у числа N в Стволе. Нетрудно доказать, что сумма радиусов (ƩR) у всех чисел в Стволе высотой N (то есть количество всех камней в Стволе) устремляется к такому "красивому" выражению:
ƩR ≈ 2/3∙N^(3/2). (1)
Здесь и далее многие формулы для Ствола (и всей Пирамиды) выводятся, например, в статье «Дуальность Мироздания и … мира чисел», опубликованной автором на Дзене 6 мая 2025 г. Эта статья существенно добавляет любопытной и важной информации о всей Пирамиде делителей к ниже сказанному (где, повторяю, речь идет только о Стволе).
У числа N = 252 радиус R = 15, а вот количество (K) его малых делителей будет только девять: d = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, то есть K = 9. Причем у достаточно больших чисел N количество малых делителей, вообще говоря, уже трудно предсказать, ибо по мере роста числа N его параметр K меняется как бы «случайным», «непредсказуемым» образом, хотя на самом деле (в силу алгоритма своего построения) Пирамида делителей – это строго детерминированный объект (как, возможно, и фундамент реального Мироздания). При этом суммарное количество (ƩK) всех малых делителей в Стволе высотой N можно указать довольно точно:
ƩK ≈ N∙(lnN + 0,15443)/2. (2)
Из формул (1) и (2) следует, что по мере роста высоты Ствола (N → ∞) вероятность (V) обнаружить в Стволе чёрный камень устремляется к нулю:
V = ƩK/ƩR ≈ 3/4∙lnN/N^(1/2). (3)
Реальная вероятность остаётся равной единице (V = 1) при N = 1, 2, 3, 4, а затем начинает, вообще говоря, убывать (V ≈ 0,857; 0,889; 0,818; 0,846; 0,812; …) и уже при N = 100 получаем V ≈ 0,394 [а формула (3) начинает приемлемо работать: V ≈ 0,345]; при N = 1000 получаем V ≈ 0,172 [формула (3) даёт V ≈ 0,164] и т.д. Очевидно, что, скажем, при N = 10^100 будет V ~ 10^─48 (то есть 1/10^48), поэтому «увидеть» в Стволе новые чёрные камни (малые делители, по величине достаточно близкие к радиусу Ствола) ─ практически невозможно, однако мы всегда будем «видеть» первые малые делители: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … . <Что напоминает ситуацию в физике, где элементарных «частиц» (кстати, они, согласно гипотезам физиков, возможно, вовсе и не частицы) уже открыто более 300 (разных «сортов» частиц), но некоторые гипотетические «частицы» никак не поддаются обнаружению.>
У всякого числа N его каждый малый делитель (d) порождает свой антипод ─ соответствующий большой делитель (D = N/d), поэтому именно количество (K) малых делителей определяет у числа N его тип (Т) – количество всех (малых и больших) делителей (включая 1 и само число N). Так у числа N = 252 всего будет такое количество делителей: Т = 2∙K = 2∙9 = 18, однако указанная формула чуть измениться: Т = 2∙K ─ 1 для чисел вида N = i^2, где i = 1, 2, 3, 4, … – это порядковый номер ступени Ствола. То есть каждое число вида N = i^2 «открывает» свою (i-ю) ступень Ствола и всегда имеют нечётный тип (Т = 1, 3, 5, 7, 9, …), который, по мере роста N, встречается всё реже и реже.
Каждый черный камень Ствола, будем говорить, имеет массу (указанную на камне, см. Рис. 1) – это и есть величина малого делителя (d). <При этом полезно помнить, что в физике понятия «масса» и «энергия» ─ неразличимы. Однако, рассказывая ниже про устройство Ствола Пирамиды (в мире чисел), сам автор затрудняется в части однозначного применения терминов «масса» или «энергия» (через призму возможного суперпартнерства в мире чисел). Вероятно, это будет под силу только физикам-теоретикам.>
Поэтому у всякого числа N есть стволовая масса (M) – так мы назовем сумму всех его малых делителей (чёрных камней), правда, далее для краткости мы опустим определение «стволовая» (хотя у всякого числа N есть ещё и общая масса, учитывающая массу всех его малых и больших делителей). Например, у числа N = 252 будет такая (стволовая) масса: М = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 + 12 + 14 = 58 (а общая масса равна 728). По мере роста числа N его масса (как и параметр K) также меняется «случайным», «непредсказуемым» образом, но вот суммарную массу (ƩМ) всех чисел в Стволе высотой N можно указать довольно точно:
ƩM ≈ 2/3∙N^(3/2) + 1/3∙N^(1/2). (4)
С учётом формулы (1) ƩR ≈ 2/3∙N^(3/2) мы получаем, назовем это так, чёрную плотность Ствола высотой N:
ƩM/ƩR ≈ 1 + 0,2316/N^0,435. (5)
В формуле (5) ко вполне очевидной единице автор ещё прибавил убывающий «довесок» – это формула линии тренда (с достоверностью 0,7537) реальных значений ƩM/ƩR ─ 1 (которые имеют заметный разброс на графике) у первых 1000 чисел N, причем у семи чисел: N = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 23 имеем ƩM/ƩR = 1 (точно). Таким образом, по мере роста N, чёрна плотность Ствола быстро устремляется к 1 и остаётся практически неизменной. То есть отношение массы (энергии) всех малых делителей (ƩM) к площади Ствола (ƩR) ─ остаётся неизменной (const). <Вспомним из физики: по мере расширения Вселенной плотность тёмной энергии – остаётся неизменной.>
Нам никто не запрещает наделить массой (энергией) и каждый серый камень Ствола (равно, как и каждый белый камень Пирамиды). Причем по аналогичному правилу (как и для чёрных камней): пусть каждый серый камень Ствола имеет массу равную номеру своего столбца (где стоит этот серый камень). Поэтому у всякого числа N нетрудно найти, будем говорить, серую массу (Мс) – это максимально возможная масса числа N в пределах Ствола (его радиуса R):
Мс = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + R = (1 + R)∙R/2 ≈ R^2/2. (6)
Например, для числа N = 252 мы получаем: Мс = 120 (а масса всех его малых делителей М = 58, см. выше).
При этом мы будем говорить, что у исходного числа N = 252 (с массой М = 58) существует число-суперпартнёр Nс = 252 (с серой массой Мc = 120, см. начало статьи). Глядя на Ствол (рис. 1), мы видим, что только у восьми чисел N = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 нет суперпартнера [у этих чисел в Стволе ─ только чёрные камни (малые делители)], а у всех прочих чисел N ─ есть суперпартнер (с серыми камнями). При этом в Стволе высотой N отношение Mc/M будет больше всего у простого числа (N = Р), поскольку у любого простого Р будет единичная масса: М = 1 (есть только один малый делитель d = 1), а вот серая масса будет такой: Мс ≈ 1 + 2 + 3 + 4 + … + P^0,5 ≈ P/2, поэтому у любого простого (P > 3) получаем: Mc/M ≈ Р/2 <во столько раз масса-энергия суперпартнера Р* больше массы-энергии исходного простого числа Р>.
Очевидно, что в Стволе высотой N отношение Mc/M будет меньше всего у сверхсоставного числа N (типомакса ─ числа с максимально возможным типом Т). Поясним это утверждение. У всякого типомакса (N) количество всех его делителей равно Т, а количество всех малых делителей ─ Т/2. При этом наибольший малый делитель равен N^0,5 (точнее говоря, целой части из корня квадратного), что для данного типомакса также является и радиусом Ствола (R ≈ N^0,5), поэтому для серой массы типомакса получаем: Mc ≈ N/2 (см. формулу 6). Для очень большого типомакса (N >> 1) можно смело полагать, что сумма всех его (Т/2) малых делителей будет порядка этого (самая грубая оценка с избытком): М ~ (N^0,5)∙(T/2). Тогда мы получаем следующее отношение: Mc/M ~ N/T <во столько раз масса-энергия суперпартнера N* больше массы-энергии исходного типомакса N>. Поскольку у типомакса N его тип (Т) ─ наибольший на отрезке [1; N], то число Т на много порядков больше числа 2, а отношение Mc/M у типомакса будет на много порядков меньше, чем у простого числа (Р), стоящего близкого к данному типомаксу (N ≈ P).
По мере роста высоты N Ствола суммарную серую массу [ƩМс, то есть масса всех (чёрных и серых) камней Ствола] можно указать довольно точно:
ƩMс ≈ 1/4∙N^2 + 1/4∙N + 1/2∙N^0,5. (7)
С учётом формулы (1) ƩR ≈ 2/3∙N^(3/2) мы получаем, назовем это так, серую плотность Ствола высотой N:
ƩMс/ƩR ≈ 3/8∙N^0,5. (8)
При N > 100 формула (8) начинает приемлемо работать (со всё возрастающей точностью). Таким образом, по мере роста N, серая плотность Ствола растет, устремляясь к бесконечности. И даже если в формуле (8) из ƩMс вычесть массу всех чёрных камней Ствола, а из ƩR вычесть количество всех чёрных камней Ствола, то по мере роста N мы всё равно придем к такому же выводу ─ серая плотность Ствола будет расти до бесконечности всё по той же формуле (8). Правда, при этом сам автор пока не знает, что в реальном Мироздании (в гипотезах теоретической физики) может символизировать собой серая плотность Ствола (растущая по формуле 8).
Чтобы глубже понять значение вышеизложенного (в том числе в части тёмной материи и тёмной энергии) можно обратиться к статье «Объяснение % состава наблюдаемой Вселенной (68,3 – 26,8 – 4,9)», опубликованной автором на Дзене 22 октября 2024 г.
31.05.2026, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2026