Иногда кажется, что разгон трёхтысячетонной ракеты можно описать одной строчкой на калькуляторе. Берём формулу Циолковского, вычитаем 9,81 помноженное на время и получаем окончательный ответ. Жаль только, что ракета при этом летит не строго вверх, удельный импульс меняется с высотой, а Земля ещё и вращается.
И в ходе обсуждения понял, что очередной ответ в формат комментария явно не влезает.
О чём вообще речь
Есть замечательная формула Циолковского:
Правда, она показывает какую прибавку скорости в принципе может получить космический аппарат при движении по прямой на наличных запасах (точнее при заданном расходе) топлива (точнее рабочего тела) если ничего не мешает и не помогает разгону.
Но по мнению комментатора если посчитать дельту (от "дельта Вэ") и вычесть из неё потери на гравитацию, аэродинамику и т.д, то в итоге получится финальная скорость ракеты. Правда, он считает по линейным формулам и дельту и потри, а используемый в формуле удельный импульс двигателей зависит от окружающего давления, которое рассчитывается по целому набору формул и исходных данных в зависимости от высоты. И по какому принципу комментатор брал среднее значение УИ непонятно. на высоту где УИ двигателей F-1 становится 280, это примерно 3,5 км ракета залезает за 47-48 секунд. Всё остальное время до отделения первой ступени УИ больше этого значения.
Если брать среднее по времени работы первой ступени, то УИ для таких расчётов будет 289 секунд.
Ладно, это мелкие придирки. Но если нужен точный результат, то УИ надо считать как интеграл по высоте подъёма, а для расчётов на коленке подойдёт и среднее значение, единственное, что погрешность при этом будет составлять 3-5%.
Точно так-же аэродинамические (не учтены в комментарии) и гравитационные потери тоже зависят от высоты, а это никак не учтено. Как и то, что ракета летит строго вверх очень непродолжительное время, она начинает отклоняться от вертикали. В результате гравитационные потри можно описать вот такой простенькой формулой:
где
g(t) ускорение свободного падения на данной высоте
γ(t) угол между вектором тяги двигателей и вектором местной гравитации
А не 9,81 по всей траектории
Точно так-же потри на аэродинамику
где A(t) - сила аэродинамического сопротивления
m(t) - масса ракеты
И ещё один момент. Вращение Земли. Ракета стоя на стартовом столе на мысе Канаверал уже имеет линейную скорость около 400 м/с. Именно по этой причине скорость в отчётах НАСА начинает на с ноля
А теперь математика
Если очень хочется, то можно и по средним посчитать скорость ракеты на момент отделения первой ступени.
Стартовая масса 2965 тонн;
УИ (средний) 289 сек;
Расход топлива первой ступенью...
...2 128,75 тонн. Стало быть масса перед отделением получается
2965-2128,75=836,25 т, а не 955. Мелочь, а влияет сильно.
Что там у нас дельтой?
289*9,81*ln(2965/836.25)=3588,38 м/с. Неплохо.
Кстати, при заявленном комментатором УИ в 280 с Дельта выходит 3476, а не 3100.
А препятствующие факторы? У комментатора только гравитационные потери. Посчитаем их.
Средний угол наклона траектории по времени - 55,5 градуса
Среднее ускорение свободного падения по высоте подъёма 9,72 м/с
Итого: 160*9,72*cos(34,5)=1281.7 м/с
Кстати если почитать отчёты, то на момент отделения первой ступени вертикальная составляющая скорости, на которую и действуют гравитационные потри не дотягивала до 900 м/с при горизонтальной уходящей за 2100.
Ещё есть порядка 50 м/с аэродинамических потерь (вот для них высчитывать средние значения я точно не возьмусь) и дополнительные потери на маневрирование. Скорее всего ещё есть куча неучтённых факторов, но финальная дельта в 2100-2200 вырисовывается вполне отчётливо. Что для расчёта "на коленке" неплохо.
Если кто либо не согласен с полученными результатами, приведите, пожалуйста, ваш расчёт с реальными исходными данными и с реальной физикой типа зависимости удельного импульса от высоты и гравитационных потерь от угла наклона траектории, и объяснением как считали средние показатели для расчётов.
Можете сделать более точный расчёт методом численного интегрирования с более точным учётом всех (ну или всех основных) препятствующих разгону факторов. Средства для этого есть практически у каждого, а математика там несложная.
Итого
Наличие калькулятора не заменяет собой правильные методики расчётов и верные исходные данные.
P.S. Средние показатели по времени можно посчитать взяв данные из отчётов типа "Apollo/Saturn V postflight trajectory AS-511", а данные по массе из "Saturn V launch vehicle flight evolution report-AS-511"