Математики решили давнюю проблему о скрытом порядке в многомерной случайности, причем довольно остроумным путем — доказали геометрическую теорему через теорию вероятностей. Подробности приведены в препринте на arXiv.
Задачу сформулировал в 1995 году лауреат Абелевской премии Мишель Талагран: можно ли создать выпуклую фигуру за фиксированное, не зависящее от размерности пространства число шагов — сумм Минковского?
Сумма Минковского — это сложение множеств, каждой точки с каждой. С ростом числа измерений сложность этих операций и результирующих фигур увеличивается экспоненциально — то, что называют «проклятием размерности».
Сам Талагран не верил, что его гипотезу докажут, и предложил 2000 долларов любому, кто это сделает. «Я выдвинул это смелое предположение, не имея под ним никакой почвы, — это был просто выстрел наугад. Когда говоришь что-то подобное, сам не веришь, что это может оказаться правдой», — объяснял он.
Выдвигая гипотезу, он сразу показал, что двух сложений для большого выпуклого подмножества недостаточно. В 2025 году другой математик установил, что если заменить сумму Минковского на выпуклые операции, то этот усиленный вариант задачи становится ложным.
За решение взялись Дунмин Хуа и Антуан Сон из Калифорнийского технологического института. Они пытались найти доказательство с помощью ChatGPT. По признанию авторов, модель помогла приблизиться к решению, но не дала его.
Узнав о работе коллег, к ним присоединился Штефан Тудозе из Принстонского университета. Его подход оказался «более общим и концептуальным», чему у нейросети, уточняется в статье.
Математики переформулировали геометрическую гипотезу в задачу теории вероятностей и случайных векторов, и доказали эквивалентную вероятностную гипотезу: любой 1-субгауссовский случайный вектор в n-мерном пространстве можно представить в виде суммы трех стандартных гауссовских случайных векторов.
Этот результат решает проблему выпуклости Талаграна: для любого достаточно большого множества в гауссовом пространстве внутри тройной суммы исходного множества всегда найдется выпуклое множество значительной меры. Решение также подтверждает комбинаторный аналог задачи, что важно для дискретной математики.
В повседневной жизни нас окружает множество технологий, основанных на сложных математических инструментах и алгоритмах. Решение давней математической загадки через неожиданные связи между непрерывным и дискретным мирами может повлиять на науку о данных, машинное обучение и такие области, как оптимизация логистики, где широко распространены похожие модели со сложной случайностью.
ИИ за несколько дней решил задачу, над которой математики бились больше 10 лет
Математики доказали, что случайные системы подчиняются только одному закону
Подписывайтесь и читайте «Науку» в MAX