Задание
Изобразите на координатной плоскости график уравнения:
sin(πx² + πy²) = 0
Решение
Синус числа t равен нулю
sin t = 0 ,
когда само t кратно целому количеству π, то есть имеет вид
t = πk, где k ∈ ℤ
В нашем случае
πx² + πy² = πk или x² + y² = k
Это означает, что исходное уравнение может быть представлено как бесконечная серия (объединение) уравнений такого вида:
sin(πx² + πy²) = 0 ⇔ x² + y² = k
Соответственно графиком исходного уравнения будет совокупность графиков уравнений этой серии. Чтобы выяснить, как они выглядят на плоскости, рассмотрим разные значения целочисленного параметра k.
1) k < 0
В этом случае уравнение
x² + y² = k
не имеет решений, так как сумма квадратов двух чисел x² и y² всегда больше или равна нулю, и на плоскости не будет точек, координаты которых отвечают такому требованию.
2) k = 0
Здесь уравнение серии можно записать как
x² + y² = 0
Сумма двух неотрицательных чисел x² и y² может быть равно нулю только в случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Отсюда вытекает, что на плоскости рассматриваемое уравнение описывает точку с координатами (0;0).
3) k > 0
В этом случае каждое уравнение серии несложно представить в таком виде:
Приведённое выражение описывает на плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным квадратному корню из k.
Из полученных результатов следует, что график исходного уравнения представляет собой точку (0; 0) и бесконечную совокупность концентрических окружностей:
x² + y² = k (k ⩾ 0, k ∈ ℤ)
Примечание: из-за невозможности изобразить бесконечное число окружностей на рисунке в ответе показаны только первые из них, соответствующие k = 1, … , 9.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: