Рассмотрим теперь релятивистский парадокс Эренфеста. В чем состоит суть парадокса и как он разрешается.
Парадокс Эренфеста
Суть парадокса очень проста. Рассмотрим вращающийся диск. Если мы возьмем небольшой отрезок на его окружности, то мы можем рассматривать его как отрезок прямой линии, который равномерно движется перпендикулярно радиусу диска. То есть можем рассматривать этот отрезок как инерциальную систему отсчета с определенной длиной, которая равномерно движется перпендикулярно радиусу.
Это совершенно нормальный ход: как известно, в природе инерциальных систем отсчета вообще не существуют, но очень часто на небольших отрезках движение какой-либо частицы или тела мы можем рассматривать как движение инерциальной системы отсчета. Движение точки по окружности очень-очень большого радиуса почти ничем не отличимо от равномерного движения по прямой. Поэтому, например, во многих задачах движение Земли вокруг Солнца на небольших отрезках мы можем рассматривать как равномерное движение по прямой. В ОТО Эйнштейна системы отсчета, падающие на Землю с ускорением, также рассматриваются как локально инерциальные системы отсчета.
Но согласно СТО, если относительная скорость движения двух ИСО сопоставима со скоростью света, длина движущегося тела для неподвижного наблюдателя должна сократиться в продольном направлении. То есть в случае с диском - в направлении вращения диска. Следовательно, длина этого отрезка окружности диска должна сократиться. А значит, и длина всей окружности также должна сократиться.
А радиус? Что произойдет с радиусом диска? Согласно СТО, поперечные размеры движущегося тела не сокращаются. Но если радиус диска останется прежним, а длина его окружности сократится, тогда получается, что вращение абсолютно твердого тела становится невозможным. Парадоксальный вывод: абсолютно твердое тело не может повернуться ни на один градус!
Изменение метрики вращающегося диска
Как же разрешается этот парадокс в рамках СТО? Ну, вот здесь изложена ключевая идея одного из возможных решений.
Суть в том, что вращение диска меняет метрику пространства-времени - она из плоской (евклидовой) становится искривленной (римановой). Так что теперь радиус диска становится не прямым отрезком, а искривленной дугой. Поэтому длина радиуса как бы увеличивается (для одного наблюдателя), но вроде бы остается той же (для другого наблюдателя).
Релятивистское искривление пространства-времени
Давайте называть вещи своими именами: если при вращении диска происходит изменение метрики пространства-времени, то это, в терминах современной физики, означает одно - вращающийся диск создает гравитационное поле.
Любое искривление пространства-времени, согласно ОТО, означает появление гравитационного поля. А значит, при вращении диска появляется дополнительное гравитационное поле. Назовем его в честь Эренфеста, впервые сформулировавшего эту проблему, релятивистским гравитационным полем Эренфеста.
Это, конечно, еще вовсе не значит, что вращающийся диск начнет притягивать к себе тела. Во-первых, мы пока вообще не учитываем массу диска - мы рассматриваем только его вращение. А во-вторых, это изменение метрики пространства-времени произойдет только в плоскости вращения диска, для самого диска, а для окружающих диск предметов метрика пространства-времени останется той же самой (плоской).
Но что произойдет, если мы будем учитывать массу диска? Проявит ли себя как-то это релятивистское поле Эренфеста? Из ОТО следует, что при вращении массивных тел возникает эффект Лензе-Тирринга: вращающееся массивное тело как бы начинает "закручивать" окружающее его пространство-время, придавая телам вокруг дополнительное ускорение. Может быть, это релятивистское поле Эренфеста, создаваемое массивным вращающимся диском, также как-то проявляет себя в окружающем его пространстве-времени?
А что с радиусом?
А что же все-таки произойдет с радиусом вращающегося диска? Изменится он или останется прежним?
Вот здесь приводится строгое математическое разрешение этого парадокса. Причем, заметим, в рамках принятой СТО.
Выводы также несколько парадоксальные. Собственная длина окружности в системе отсчета, связанной с диском, увеличится согласно фактору Лоренца:
Однако для неподвижного наблюдателя длина окружности и ее радиус останутся теми же:
То есть радиус вращающегося диска с точки зрения внешнего (инерциального) наблюдателя, как это ни странно, не сокращается, остается тем же. А с точки зрения внутреннего наблюдателя (покоящегося относительно вращающегося диска) эта окружность становится длиннее, и ее радиус увеличивается. При этом она не замыкается после "одного оборота", а превращается в винтовую линию в пространстве-времени.
Все это можно изобразить следующим образом. Пусть у нас есть диск радиуса R, который вращается против часовой стрелки. А теперь возьмем некоторую внешнюю окружность радиуса R1, которая остается неподвижной, относительно которой вращается диск.
С точки зрения наблюдателя В, который связан с неподвижной синей окружностью, радиус диска R и длина его окружности не изменятся.
Однако с точки зрения наблюдателя A, который связан с диском и вращается вместе с диском, диск находится в покое, а вращается синяя окружность радиуса R1 (по часовой стрелке). И если R1=g*R, где g - фaктор Лоренца для скорости V, с которой внешняя окружность вращается вокруг центра неподвижного диска, то для наблюдателя A, связанного с диском, радиус диска увеличится до R1.
Черная дыра Стрелец A* в центре галактики Млечный путь
Ну, а теперь вернемся к проблеме "скрытой массы" и "темной материи".
Установлено, что в центре нашей Галактики Млечный путь находится сверхмассивная черная дыра Стрелец A*.
Радиус этой черной дыры равен расстоянию от центра Солнца до Меркурия, а ее масса равна примерно 4,3 миллионам массы Солнца.
Долгое время считалось, что эта черная дыра не вращается или вращается очень медленно. Однако последние наблюдения (за движением ближайших к черной дыре звезд) показали, что Стрелец A* вращается с бешеной, околосветовой скоростью. Для определения скорости вращения чёрных дыр используется специальная система, в которой основной показатель варьируется в диапазоне от 0 до 1, где 1 - максимальная скорость вращения конкретного объекта. Так вот, Стрелец A* вращается со скоростью с показателем от 0,84 до 0,96 от максимально возможной скорости света.
Релятивистская гравитация Эренфеста
А теперь рассмотрим вращение этой черной дыры с учетом выводов, сделанных выше.
Скорость вращения Стрельца A* настолько огромная, что орбитальной скоростью вращения звезд вокруг центра галактики можно пренебречь. И можно считать, что все звезды (включая Солнце) являются неподвижными (инерциальными) системами отсчета. И если мы свяжем систему отсчета с любой звездой - расстояние до центра галактики и радиус черной дыры не изменятся.
А теперь свяжем систему отчета со Стрельцом A*. В собственной системе отсчета Стрелец A* теперь будет неподвижным, и теперь все звезды будут вращаться вокруг Стрельца A* с бешеной скоростью, близкой к скорости света.
При этом все звезды в такой системе отсчета будут вращаться с одной и той же угловой скоростью, а вот их линейная (орбитальная) скорость будет зависеть от расстояния между ними и черной дырой: чем больше расстояние от центра черной дыры до звезды - тем больше будет орбитальная скорость звезды относительно черной дыры: v=w*R, где v - орбитальная скорость звезды относительно центра черной дыры, w - угловая скорость вращения звезды, а R - радиус орбиты звезды от центра галактики.
Но выше было показано, что радиус Стрельца A* в его собственной системе отсчета изменится - он увеличится на фактор Лоренца. И поскольку фактор Лоренца зависит от линейной относительной скорости, для каждой звезды он будет разным, и он будет зависеть от расстояния между звездой и центром галактики: чем больше радиус орбиты звезды - тем больше будет фактор Лоренца у черной дыры для такой звезды.
Иначе говоря, радиус черной дыры для каждой звезды будет увеличиваться по-разному, "индивидуально": чем дальше находится звезда от центра галактики (чем больше радиус ее орбиты) - тем больше будет радиус черной дыры в системе отсчета, связанной с черной дырой, относительно данной звезды. Так что в итоге получится, что для черной дыры, в ее системе отсчета, все звезды окажутся на одном и том же расстоянии от нее (R2 на рисунке ниже).
Соответственно, и гравитационная сила, действующая со стороны черной дыры на все звезды, будет одинаковой, независимо от расстояния между звездой и черной дырой в неподвижной системе отсчета (связанной со звездой). И поэтому в итоге все звезды приобретают одну и ту же орбитальную скорость: ведь в системе отсчета, связанной с черной дырой, все звезды находятся от нее на одинаковом расстоянии, то есть как бы находятся на одной орбите.
Вот и все. Никакой "скрытой массы" и "темной материи" не существует. Все звезды вращаются вокруг черной дыры с одинаковой орбитальной скоростью в результате действия особого релятивистского гравитационного поля, создаваемого быстро вращающейся сверхмассивной черной дырой.
Продолжение: