Начать придётся с предыстории, иначе не получается. Вот в этой статье -
развивая тему передаточных свойств (свойств передаточного механизма) спиралей Коутса (Котеса) по разному пишется фамилия, довольно быстро и гладко сложились кинематические схемы вот таких вот редукторов -
Вообще-то спирали Коутса (Котеса) понятие не для средних умов, одно их определение данное им самим чего стоит -
Котес так описывает свой анализ этих кривых: «Предлагается перечислить различные типы траекторий, по которым могут двигаться тела, на которые действуют центростремительные силы, обратно пропорциональные кубу расстояния от заданной точки, при заданной скорости и направлении движения». (Обратите внимание, что он не называет их спиралями).
Ни о чём подобном я даже и не думал, а наткнулся на эти спирали, то есть на частный случай таких спиралей, с совершенно другой стороны, как на спирали построенные по точками пересечения массивов отрезков относительно центральной точки, причём количество отрезков в одном из массивов на один или несколько больше чем в другом. Слова без картинок мало чего значат, поэтому даю ссылки на эти свои статьи -
В них довольно подробно обо всём отмеченном постарался изложить.
Возвращаясь к редукторам. Если с эксцентриковыми редукторами показанными в начале статьи, всё шло как по накатанной дороге, как-то интуитивно угадывалась последовательность шагов, то при попытке сделать нечто аналогичное с качающимся диском, тут же обозначились проблемы. Первую можно сформулировать так; по каким пазам-направляющим на шаре (сфере) должны двигаться штыри-зацепы качающегося диска, чтобы сам диск при этом не вращался? Всякая умозрительная простота, догадки, тут же разбивались о суровую реальность, (то есть о проверки путём геометрических построений) поэтому в конце концов пришлось провести исследование
Выяснилось, что средняя линия таких пазов должна представлять из себя сложную, самопересекающуюся, "восьмёркообразную" кривую, которая на одной из проекций вырождается в правильную окружность, причём вращение точки по которой происходит с вдвое большей угловой скоростью чем угловая скорость привода задающего качание диска. Да, много букв ушло на это предложение, но сократить не получится, как бы добавлять не пришлось. Кривая эта надо полагать полностью совпадает с линией пересечения цилиндра с шаром когда цилиндр касается поверхности шара изнутри, но строгого доказательства этому нет (думаю позднее будет). Совпадений слишком много, случайно так не бывает.
Второе затруднение возникло с получением профиля зубчатой канавки. Если в случае эксцентриковых редукторов особых объяснений не требовалось в силу наглядности, то здесь же придётся определить некоторые действия. Сам процесс назовём разворачиванием (развёртыванием) фигуры, а фигуру для которой это действие происходит назовём образующей. Меня тут же могут попрекнуть - к чему эта отсебятина если в кинематике давным-давно известны понятия относительного и переносного движения? Согласен, можно и так, но с оговоркой - переносное движение сохраняется для уже пройденных точкой участков кривой.
Посмотрим сказанное на примере -
Здесь показана проекция сечения шара цилиндром на плоскость, искажений по наибольшей ширине сравнительно с той проекцией где она вырождается в окружность нет. Почему? Не забываем, что сечение цилиндром и если мысленно провести через ось цилиндра плоскость параллельную фронтальной то в сечении получится как раз размер диаметра по ширине. Искажения проявляются только в небольшой "сплющенности" по высоте. На дальнейших построениях влияние искажений не замечено.
Идём дальше. Представим, что эта фигура шаблон по которому движется пишущий маркер закон движения которого определяется равномерным движением по окружности на верхней проекции, а под ним равномерно движется бумага, скорость которой рассчитана так, чтобы на длине L=πD, где D - диаметр шара, разместилось целое число зубьев. На данной гифке показан случай для пяти зубьев.
Отдельно покажу случай, как можно промахнуться (ошибиться) с направлением обхода фигуры.
На этой гифке показаны два варианта обхода; слева тот которым мы уже воспользовались, а справа обратный или зеркально отраженный. Если бы случилось выбрать правое направление обхода и тоже направление развёртывания, получилось бы вот что -
С завитушками это пожалуй лишнее, а что еще хуже возможно бы и отбило охоту к дальнейшим построениям. Стало быть направление обхода и направление развёртывания должны быть согласованы. Вот так будут выглядеть "правильная" и "неправильная" зубчатые канавки для пяти зубьев на цилиндрической развёртке подогнанной под диаметр шара. Красным цветом показана осевая линия зубчатой канавки.
На том же диаметре (длине развёртки) можно разместить и большее число зубьев -
Здесь показано разворачивание образующей фигуры (восьмёрки) на шесть и на семь зубьев.
Это на восемь и девять.
Здесь они собраны вместе, чтобы облегчить сравнение. Диаметр размещения для всех один и тот же 150 мм, а размах колебаний качающегося диска примерно 84°, то есть можно и убавить. Это дело случайное - выбрал диаметр 20 мм. секущего цилиндра, получил 84° размах колебаний. Для наглядности это может и неплохо. Будет конструирование, будут найдены и оптимальные соотношения, а пока так.
Ну вот, с показом процесса "разворачивания" (термин самопридуманный, кто знает как принято называть такой процесс просьба откликнуться) зубьев покончено, можно перейти к показу взаимодействия штырей-зацепов качающегося диска с зубчатой канавкой на сферической поверхности. Картинку следует воспринимать как развёртку цилиндрической поверхности обёрнутой вокруг шара, синяя линия - проекция следа средней плоскости качающегося диска на сфере. Искажения при проецировании её на плоскость такие же как и для зубьев. Смотрим для случая с пятью зубьями на зубчатой канавке -
Что тут легко можно предвидеть? А вот же, между "восьмёрками" еще много места остаётся, еще можно посередине воткнуть! Отвечаю - ничего там не получится воткнуть, на пять зубьев строго четыре зацепа равномерно расположенных по окружности качающегося диска и никак иначе. В других случаях таже зависимость, максимальное число штырей-зацепов которые можно расположить в зубчатой канавке на один меньше чем число зубьев. Их количество можно уменьшить, но так чтобы остальные оставались на своих местах. Передаточное число равно количеству зубьев. Как можно объяснить эти свойства? По моим ощущениям они идут от свойств спиралей Коутса (Котеса) в том виде в котором я на них случайно наткнулся. У эксцентриковых редукторов пример которых я привёл в начале статьи, было ещё вот какое свойство; при числе радиальных направляющих на единицу большим чем число зубьев, вращение входа и выхода оказывается разнонаправленным, передаточное число со знаком минус. Для случая с качающимся диском это свойство отпало. Почему так? Можно предположить следующее - там профиль зубьев задавался движущейся по радиальной направляющей точкой, закон движения которой определялся эксцентриком пересекающим данную направляющую. Здесь же форма зубьев определяется "разворачиванием" двухмерной (в проекции на плоскость) фигуры. Это конечно только предположение, а не доказательство, но в любом случае полной аналогии не вышло. Ну ладно, вот здесь движение получилось кажется нагляднее -
Тот же случай для пяти зубьев.
Здесь шесть зубьев.
Здесь семь зубьев. Чёрные кружечки это штыри-зацепы в зубчатой канавке, перемещаются они по "восьмёрочной" траектории (показана черной тонкой линией) Можно было бы продолжить, но трудоёмки эти гифки, хватит пока. Одно качание диска соответствует повороту выходного вала на один зуб.
Вот примерно так будет выглядеть выходной вал с зубчатой канавкой. То есть это просто 3D модель без претензий на конкретную конструкцию, в данном случае на пять зубьев.
По поводу нарезания зубчатой канавки представляется самым естественным разделить процесс на два движения; одно качательное по "восьмёркообразной" траектории шпинделя с пальцевой фрезой, другое вращение заготовки зажатой в другом неподвижном шпинделе. Кинематическая связь движений простая, на одно полное качание шпинделя с фрезой поворот заготовки на 360°/n → где n количество зубьев. Качательное движение шпинделя с фрезой можно конечно реализовать чисто механическим устройством, может даже и не слишком громоздким оно окажется, но всё же судя по тому насколько я "насмотрен" роликами про работу фрезерных станков с ЧПУ в интернете, то они выдают изумительные по сложности детали просто по заложенной в них программе. А здесь, в данном случае, по здравому размышлению, геометрия обработки не так уж и сложна. Моя-то конструкторская деятельность прошла при универсальных станках.
Теперь можно перейти к показу конструкции редуктора, хотя бы и в самом схематичном виде. Выберем выходной вал с зубчатой канавкой из пяти зубьев, при этом на качающемся диске будет четыре штыря-зацепа и их можно расположить в удобном для показа месте. Вот как на этом чертеже -
Здесь три из четырёх зацепов находятся в поле зрения, а четвёртый сзади напротив переднего. В текущий момент времени передача крутящего момента приходится на два штыря, у двух других вектор скорости направлен вдоль канавки. Вообще для абсолютно точного изготовления можно рассчитать долю передаваемого крутящего момента для каждого штыря-зацепа исходя из векторных равенств. Но это для абсолютно точного, то есть недостижимого. В реальности видимо будет так, всё передаваемое усилие будет приходиться на один штырь-зацеп, а другие будут "на подхвате". Ну а поскольку такая "пересменка" будет происходить постоянно, то в принципе это не так уж плохо. Можно еще подумать об упругой установке штырей, чтобы создать лучшие условия для выравнивания нагрузки. Ещё один вопрос, от которого не отмахнуться - а как штыри-зацепы окажутся в канавке? Как собирать? Напрашивается решение делать разъёмный диск из двух половинок. Может есть какое-то движение которым можно сбоку неразъёмный надеть? Может и есть, но умозрительно его конечно не найти.
Для задания наклонному диску качания без участия во вращении у меня нарисованы приливы на корпусе с "восьмёркообразной" канавкой, так было задумано с самого начала. Однако по ходу дела всё больше склоняюсь в пользу разнесённого механизма ШРУС (шарнира равных угловых скоростей). Самым поверхностным образом это можно описать так: лучевые канавки под шарики связанные с корпусом (или на самом корпусе), лучевые канавки жестко связанные с качающимся диском, а между ними в биссекторной плоскости шарики. То есть ШРУС но только разнесённый. Функционал тот же самый удерживание качающегося диска в качании без вращения. Так пожалуй будет и лучше и универсальней. Не лежит душа к самопересекающейся канавке. Надеюсь, что главное - кинематику взаимодействия "восьмёркообразного" движения штырей-зацепов с зубчатой канавкой мне удалось показать убедительно, а словесное описание если в нём есть недочеты или логические пропуски, каждый может перевести на свой внутренний понятийный язык. На этом ставлю точку.
-------------------------------------
Дельные замечания по поводу терминологии не соответствующей общепринятой будут приняты с благодарностью.