Про следы воздействия Лунного модуля на поверхность часто спорят в духе: «Почему под соплом нет огромного кратера?» И каждый раз внезапно выясняется, что среди уважаемых экспертов желающих обоснованно сказать, какого именно размера должен быть кратер, не так уж много. Поэтому я прикинул сам — но, боюсь, результат уважаемым экспертам не понравится. На практике у ЛМ обычно наблюдали сильное пыление и “обметание” поверхности, но глубоких воронок не получалось. Это хорошо объясняется порядками величин: тяга небольшая, струя в вакууме быстро расширяется, а "опасное" время у самой поверхности короткое.
Давайте прикинем габариты "заметного глазу" кратера, который должен был выкопать лунный модуль при посадке. Допущения:
горизонтальные эволюции окончены, спуск строго вертикальный (на самом деле горизонтальная скорость была у всех ЛМ)
тяга двигателя F = 11000 Н
высота сопла над грунтом линейно падает с 10 м до 2 м за 16 секунд
то есть скорость снижения 8 м / 16 с = 0.5 м/с
Сразу оговорка: это оценка порядка, а не точный расчёт. Реально нужна CFD + модель гранулярного потока, но “на пальцах” можно понять, почему речь идёт именно о таких значениях.
1) Профиль высоты: H(t)
Пусть t — время в секундах с начала рассматриваемого участка. Тогда:
H(t) = 10 - 0.5*t, где 0 ≤ t ≤ 16
На конце: H(16) = 2 м.
2) Как превратить тягу в “сдвигающее напряжение” на грунте
Грунт срывает не сама тяга, а касательное напряжение у поверхности (условно “насколько струя сдвигает верхний слой”).
2.1. Как растёт пятно струи с высотой
Возьмём типичные геометрические числа для ЛМ (с грубыми округлениями):
- радиус среза сопла re ≈ 0.75 м (диаметр ~1.5 м)
- эффективный полуугол раскрытия струи в вакууме θ ≈ 20° (это не “угол сопла”, а грубая оценка как быстро струя расширяется)
Тогда характерный радиус зоны воздействия на грунте:
r(H) = re + H*tan(θ)
tan(20°) ≈ 0.364, значит:
- при H=2 м: r ≈ 0.75 + 2*0.364 = 1.48 м
- при H=10 м: r ≈ 0.75 + 10*0.364 = 4.39 м
Площадь “пятна” (очень грубо):
A(H) = π*r(H)^2
- H=2: A ≈ π*(1.48^2) ≈ 6.9 м²
- H=10: A ≈ π*(4.39^2) ≈ 60.5 м²
2.2. Средний "напор" и доля, которая идёт в сдвиг
Среднее давление импульса оценим как:
pm(H) ≈ F / A(H)
- H=2: pm ≈ 11000 / 6.9 ≈ 1600 Па
- H=10: pm ≈ 11000 / 60.5 ≈ 182 Па
Но грунт "режет" не всё это давление. Введём коэффициент η (эта — доля, превращающаяся в касательное напряжение). По порядку можно взять η = 0.05…0.2.
Тогда касательное напряжение в центре:
τ0(H) ≈ η * pm(H)
Если η=0.1:
- H=2: τ0 ≈ 0.1*1600 = 160 Па
- H=10: τ0 ≈ 0.1*182 = 18 Па
Вывод: высоко над грунтом струя в основном пылит, а заметная "сдвигающая сила" появляется только на последних метрах.
3) Как учесть, что реголит "крепнет" с глубиной: ρ(z) и угол внутреннего трения
Для сухого реголита удобно использовать критерий Мора–Кулона:
τres(z) = c + σn(z)*tan(Ф(z))
Где:
- z — глубина
- c — “сцепление” (когезия) верхнего слоя; для лунного реголита часто порядок десятки–сотни Па (иногда больше)
- Ф(z) — угол внутреннего трения, растёт с глубиной
- σn(z) — нормальное напряжение от веса слоя
Нормальное напряжение:
σn(z) ≈ ∫i=0..z ρ(i)*gMoon di
Это интеграл от ноля до z.
На Луне g = 1.62 м/с² — маленькое, поэтому вклад веса растёт медленно. Например, на z=0.05 м при ρ≈1400:
σn ≈ ρ*g*z ≈ 1400*1.62*0.05 ≈ 113 Па
Даже если tan(Ф)≈0.84 (Ф≈40°), добавка будет ~95 Па. Поэтому на первых сантиметрах часто сопоставимы два слагаемых: c и "весовой" вклад.
Чтобы учесть рост с глубиной, можно задать профили экспонентой, например:
- ρ(z) растёт от 1350 к 1800 кг/м³ на масштабе ~0.3 м
- Ф(z) растёт от 38° к 48° на масштабе ~0.3 м
Но для глубин 1–10 см это меняет ответ не драматически: там главное — величины c и τ0.
Для примера дальше возьмём c=100 Па (довольно "рыхло", если взять 300–500 Па, ямка будет заметно меньше).
4) Оценка глубины: когда струя “перестаёт срывать”
Очень грубая идея: "докапывает" до глубины h, где
τ0(Hmin) ≈ τres(h)
Минимальная высота у вас Hmin=2 м, значит τ0 порядка 80…320 Па (если η=0.05…0.2).
Чтобы быстро прикинуть, можно оценить рост удерживающего напряжения с глубиной как почти линейный:
dτres/dz ≈ ρ*g*tan(Ф)
Возьмём ρ≈1500, Ф≈40° (tan≈0.84):
dτres/dz ≈ 1500*1.62*0.84 ≈ 2000 Па/м
Тогда:
h ≈ (τ0 - c) / 2000
Примеры:
- η=0.1 → τ0≈160 Па → h≈(160-100)/2000≈0.03 м, то есть около 3 см
- η=0.2 → τ0≈320 Па → h≈(320-100)/2000≈0.11 м, то есть около 11 см
Это верхне-оценочный характер: реальная эрозия ограничена ещё и временем.
5) Главный “убийца кратеров”: времени мало
Важно не только “может ли” струя срывать грунт, но и сколько секунд она реально сильная.
Найдём высоту, ниже которой τ0 становится хотя бы равной c=100 Па (для η=0.1). Мы решаем:
τ0(H) = η * F / (π*(re + H*tanθ)^2) = 100
Подстановка чисел даёт H примерно 3.1 м (порядок).
Когда модуль опустится до H=3.1 м?
t = (10 - 3.1) / 0.5 ≈ 13.8 с
То есть “выше порога” он находится всего последние:
16 - 13.8 ≈ 2.2 секунды
За ~2 секунды глубина может не успеть достигнуть "равновесной" оценки, особенно если c больше 100 Па или η ближе к 0.05.
Итого
При F=11000 Н и снижении 10→2 м за 16 с, с разумными параметрами реголита:
- глубина заметной выемки в центре: чаще 0–5 см, иногда до ~10 см (если реголит очень рыхлый и струя хорошо "цепляется")
- диаметр зоны заметной выемки: порядка 1–3 м
- зона "обметания" и пыления (снятие тонкой пыли без ямы): может быть на порядки шире - многие метры и больше
Почему пыли много, а ямка маленькая: мелкая пыль имеет низкий порог срыва, и её можно разгонять далеко, не снимая при этом десятки сантиметров грунта.
P.S. Можете для Старшипа посчитать. Именно тот случай, если кому-то взбредёт в голову сажать его на Луну на маршевых двигателях. Методика выше. Только у меня есть большое и обоснованное подозрение, что результаты уважаемым экспертам понравятся ещё меньше.
-----------------------------------------
Если вы пишете комментарии к этой статье, значит вы ознакомились и согласились с правилами что можно, а что нельзя: