Сейчас открою великую тайну.
Опять повёлся на заголовок, хомячок?
Ладно, я больше так не буду.
Но на самом деле, заголовок не такой уж и далёкий от правды. Интеграл - это универсальная "линейка". Им меряют объёмы, площади, длины, массы, силы и работы. Всё, что можно измерить.
И здесь речь пойдёт про площадь, периметр и объём.
И про всё почти про это я сейчас вам распишу.
Вычисление площади фигуры
Для начала, и это самое сложное, надо эту самую площадь описать математически всякими прямыми, параболами и прочими синусами.
Для этого надо нарисовать, взять шпаргалку с функциями и начать подгонять кривые под контур фигуры. Например, так, как на рисунке. Но это совсем другой урок. Допустим, получилось.
И сразу после описания (т.е. часа 4-5 слёз и пыток desmos), заполняем формулу для вычисления площади, а для этого надо понять, какая из линий ограничивает фигуру сверху, а какая - снизу.
Кстати, да. Совершенно очевидно, что надо маленько подвигать ось ординат и сделать всё симметричным. Но наша цель не вычислить площадь, а расковырять формулу и понять, как ей пользоваться в сложных случаях.
В выбранном перекошенном варианте описания есть подвох: у нас сверху две разные линии и снизу - две разные линии. Значит надо разорвать наше сердце на части так, чтобы и сверху и снизу граница определялась однозначно! Сколько же мудрости в этом выводе. ух.
Главное сейчас - разорвать область на простые (с понятными границами) и заполнить стандартную формулу.
И опять же. Правильно, хорошо и красиво - дробить фигуру на понятные кусочки и, там, где возможно, не связываться с интегралами.
В результате - находим размеры нашего любящего сердца в квадратных единицах.
О том, как посчитать интегралы есть совсем другой урок.
Душновато? Ну а что делать. Измерять это вам не раскрашивать.
Длина дуги
Давайте измерим охваты обхват нашего сердца.
Периметр, так сказать.
Для этого надо знать формулу длины дуги.
Уравнения границ нашего нежного сердца у нас уже выплаканы есть.
Заметим, что длину окружности мы посчитать и так можем. А кусочки кривых справа и слева у нас одинаковые.
Получается сэкономить.
Но экономия на количестве интегралов компенсируется их качеством.
Вычисление объёма тела вращения
Тело вращения - это когда мы берём кривую вместе с её подграфиком и крутим вокруг координатной оси (хоть вертикальной, хоть горизонтальной).
Для объёма тела вращения есть лаконичная и логичная формула - своя для каждой оси. Вот так
Но это был простой (хе-хе) случай. Стоит только немножко усложнить...
Вот слегка отодвинем кривую от оси и начинаются чудеса. Вернее выкрутасы с формулой.
Если область оооочень сложная
В нашем сердечном случае тут и под и над и лишнее немного слева, короче ограничимся вот такой "чудо-клубникой" (если закручивать вокруг Oy).
Снизу там впуклость, сверху- полусушка и пимпочка посередине. Этот стиль изложения мы назовём хозяйственно-огородной математикой.
В этом случае надо пилить на осмысленные кусочки, считать по отдельности и складывать.
И когда-нибудь я это сделаю.
Но пока не буду. Живите без этой моральной травмы.
Ну что ж. Спасибо, что дочитали =)
Приходите ещё!
видеоурок тут
и плейлист с уроками вооот тут
#определенный интеграл
#площадь
#длинадуги
#СибГУТИ