Ну все слова понятные, сейчас разберёмся!
Берём что-то плоское и вращаем вокруг оси и получается объёмное тело.
И у этого объёмного тела можно посчитать объём.
И так как конструкция по сути порождается плоской "образующей", то и для вычисления такого объёма не обязательно лезть в двойные интегралы. Но одинарный-то нужен, да.
По сути, речь пойдёт о конструкциях, которые напоминают пирамидку из дисков, у которых плавно меняется диаметр.
По сути даже не напоминают, а так оно и есть.
А вы рассмотрите картинки и угадайте, какое тут тело самое сложное для обсчёта интегралами.
Базовая формула для простого случая
Если тело похоже на пирамидку, то боковая функция x=f(y),
а если на шашлык, то y=h(x).
Формула простая и доступная широкому кругу любопытствующих.
Формула основана на том, что мы складываем объёмы шайбочек из которых состоит конструкция.
А каждая шайбочка - это мини-цилиндр. А донышко у него - круг.
Значит формула содержит п. По любому.
Сложный случай с вычурным шаблоном
Очень сложные условия.
Буду рассматривать область, которая ограничена двумя параболами и одной касательной.
Составление уравнений выполнено отдельно, проверка предоставляется читателю.
Параболы одинаковые, просто одна из них вверх ногами рогами (зелёная), а вторая - вниз и со сдвигом вершины. Именно ко второй пристроена качательная в точке с симпатичной абсциссой и какой получилось ординатой.
Область беру загадочную, при вращении вокруг Оу получаем "голову в шляпе", а вокруг Ох - что-то вроде тазика. Или юбки. Рассматривай, проникайся, готовься к погружению.
Крутить буду как отдельные кусочки области, так и всю конструкцию.
Для пользы, наглядности и просто так хочу.
При вычислении объёма надо понимать, что иногда мы из объёма одного вычитаем другой. Осознайте, прежде, чем двинуться дальше.
Давайте обсчитаем "вычурный тазик"
- тело, которое получается вращением нашего шаблона вокруг оси Ох.
Я вижу целых два способа, смотри оба (листай карусельку).
Теперь "голова в шапке"
- тело, полученное вращением вокруг оси Оу.
Тут у меня только один вариант. Если знаешь второй - не стесняйся написать в комментарий.
Кстати, есть ещё один подход
Можно вычислять объём тела вращения не через "стопку блинов", а через цилиндры. Это уже не стопка, а такое хитрое штабелирование. Как матрёшка или стаканчики разного размера, вставленные друг в друга.
В этом случае формула немножко другая. И может даже удобнее. Вы смотрите по ситуации.
Формула основана на объёме колец и хитрым образом отсылает к длине окружности. Листай карусельку, разбирайся, там есть примерчик.
Естественно, можно повернуть оси и делать всё то же самое для Ох.
Домашнее задание
Посчитай всеми способами, ну, или ладно, хотя бы одним, нарисуй, раскрась и скинь в комментарии =)
Ну ладно, можно просто нарисовать тела вращения в 3Д.
Да ладно, не ной!
тут видос на тему ( всё то, что выше, но с голосом =)
#определенный интеграл
#объём
#теловращения
#СибГУТИ