А теперь по-взрослому!

Ну... почти.

Предложенные в статье

задачи о проекции точки на выпуклое множество были решены мной методами элементарной геометрии на плоскости в статье

Теперь пришло время сделать это доказательство в стиле, принятом в математических публикациях.

Скачать файл полезно, если у вас средством просмотра скачанного является Adobe Reader. Тогда активные (гипер)ссылки — они выделены синим цветом — будут работать. Работоспособность ссылок при просмотре другой программой не гарантируется.

Я не расчитываю на полное понимание со стороны читателя, чьё математическое образование прервалось в школе. Для него предлагаемый текст может представлять интерес как демонстрация особенностей математического изложения. (Хотя с чисто формальной точки зрения читателю достаточно владеть элементами векторной алгебры в n-мерном пространстве — это примерно 1 курс мех-мата или инженерного образования.) Все написанное в этом тексте в сносках предназначено как раз для такого читателя.

Сразу хочу предупредить, что в имеющейся традиции изложение расчитано на активное участие квалифицированного читателя. Эквивалентные преобразования выражений часто пропускаются, указывается лишь первый шаг и готовый результат. Считается, что читатель в состоянии восстановить эти подробности. Также опускаются более стандартные доказательства вспомогательных фактов. В указанной статье такие утверждения выделяются, как правило, курсивным шрифтом. Проверка их истинности (доказательство) возлагается на читателя.

Теперь о преимуществах такого стиля доказательства. Во-первых, перебор вариантов конфигурации точек и их проекций организован более упорядоченно, в результате чего достигнута бóльшая уверенность в том, что никакой вариант не упущен. Элементарно-геометрические рассуждения часто хромают именно на эту ногу.

Во-вторых, полностью устранена зависимость от графических иллюстраций. Это второй недостаток элементарной геометрии. Вложенные в текст рисунки предназначены для облегчения понимания конфигурации, но в самом доказательстве не участвуют.