В бытность свою преподом я предлагал эти задачи студентам — в случае n-мерного Евклидова пространства. Не помню, решил ли кто-нибудь и каково решение.
Любителям математики предлагаю рассмотреть вариант этих задач на плоскости.
Формально говоря, для этих задач не требуется знаний, выходящих за пределы школьной программы. Но это позволит немного прикоснуться к математике внешкольной.
Выпуклое множество
Определение. Множество точек плоскости называется выпуклым, если вместе с любой парой своих точек оно содержит и весь отрезок, их соединяющий.
Примеры: отрезок, прямая, круг, треугольник (если он имеет ненулевую площадь :-), прямоугольник.
Не является выпуклой окружность. Четырехугольник может не быть выпуклым:
Проекция на выпуклое множество
Определение. Для точки A, находящейся вне выпуклого множества C, её проекцией на С называется точка множества С, ближайшая к A.
Сравните это с проекцией точки на прямую.
Задача. Найти проекцию точки на отрезок.
Теорема. Если множество C замкнуто (т.е. содержит свою границу), то проекция на это множество существует, принадлежит границе и определяется единственным образом.
Задача. Доказать единственность.
Задача о проекциях
Введем обозначение: ρ(A, B) — расстояние между точками A и B.
Задача. Пусть точки A₁ и A₂ лежат вне замкнутого выпуклого множества C, а P₁ и P₂ — соответственно их проекции на С. Доказать, что
ρ(P₁, P₂) ≤ ρ(A₁, A₂).
Я тоже подумаю над этой задачей. Если придумаю, то буду терпеть не меньше месяца с сегодняшнего дня, чтобы опубликовать.
А пока... желаю успеха!