Спин и четвёртое измерение. Часть 2: Октаплекс

"Что касается фигур в четырёх или более измерениях, то мы никогда не сможем полностью постичь их с помощью прямых наблюдений. Однако, пытаясь это сделать, мы, кажется, заглядываем сквозь шель в стене наших физических ограничений в новый мир ослепительной красоты. Такое бегство от турбулентности обычной жизни, возможно, поможет нам сохранить рассудок".

Гарольд Коксетер

Начало (первая часть) здесь https://dzen.ru/a/aChkNGsiOVhufpQD

Как уже отмечалось в первой части, понятие спина ввёл Паули в 1925 г. при объяснении аномального эффекта Зеемана (дублетной структуры спектра щелочных металлов). Таким образом, понятие спина появилось при анализе спектроскопической проблемы, непосредственно связанной с периодической системой химических элементов.

Как известно, строение периодической системы определяется порядковой структурой четырёх квантовых чисел n, l, m и s, где s (спин) есть четвёртая степень свободы. По этой причине все попытки описания спина в рамках трёхмерных классических представлений (например, волчок Гаудсмита-Уленбека и т.д.) не имели успеха. Для адекватного описания спина, как четвёртой степени свободы, требуется введение четвёртого измерения.

Теория групп позволяет нам связать спин с четвертым измерением. Таким образом, согласно теоретико-групповому описанию периодической таблицы Менделеева [1, 2, 3], первые три квантовые числа n, l и m соответствуют собственным значениям ν, λ и μ_λ генераторов L_56, L_12 и L_34, образующих подалгебру Картана K алгебры Ли so(4, 2) конформной группы SO(4, 2). so(4, 2) является алгеброй Ли третьего ранга, поэтому все корневые и весовые диаграммы этой алгебры являются трехмерными системами. Адекватное описание спина в рамках теоретико-групповой схемы требует перехода к алгебре Ли четвертого ранга. Такой алгеброй является so(4, 4) – алгебра Ли группы вращения SO (4, 4) восьмимерного псевдоевклидова пространства R(4,4).

Специальная псевдоортогональная группа в восьми измерениях, SO(4, 4), соответствует группе вращений восьмимерного псевдоевклидова пространства R(4,4) или, что эквивалентно, множеству 8 × 8 ортогональных матриц, оставляющих квадратичную форму

где

инвариантной.

Структура соответствующей алгебры Ли so(4, 4) определяется коммутационными свойствами ее образующих L_aβ. L_aβ составляют базис алгебры so(4, 4). Количество независимых генераторов легко определить: из 64 возможных комбинаций индексов α и β восемь комбинаций исчезают в силу L_aa = 0, это сокращает количество генераторов до 56. Более того, в силу L_aβ = −L_βa остается только 28 независимых генераторов, число которых также может быть получено с помощью формулы n(n − 1)/2, где n = p + q - размерность пространства R(p,q). Таким образом,

Система из 28 генераторов L_aβ алгебры so(4, 4) удовлетворяет следующим перестановочным соотношениям:

где α, β, γ, δ = 1, . . . , 8, в то время как g_11 = g_22 = g_33 = g_44 = 1, g_55 =
g_66 = g_77 = g_88 = -1. Таким образом, имеем 28-мерную алгебру Ли so(4, 4).

Найдем максимальное подмножество коммутирующих генераторов алгебры so(4, 4). Как известно, два генератора коммутируют, если у них нет общих индексов. Легко видеть, что среди генераторов алгебры so(4, 4) четыре генератора удовлетворяют этому условию:

Четыре генератора {L_12, L_34, L_56, L_78} образуют базис максимальной абелевой подалгебры K ∈ so(4, 4) (подалгебра Картана). Образующие (3) называются генераторами Картана. Размерность подалгебры K определяет ранг алгебры Ли, следовательно, so(4, 4) является алгеброй Ли четвертого ранга. Таким образом, все корневые и весовые диаграммы для so(4, 4) будут четырёхмерными.

Базис Картана-Вейля алгебры so(4, 4) содержит 28 генераторов,

включая 4 генератора Картана и 24 генератора Вейля (более подробную информацию смотрите в [4]). Таким образом, корневая диаграмма алгебры so(4, 4) задана в четырехмерном весовом пространстве, координатными осями которого являются оси генераторов Картана, а 24 оси генераторов Вейля образуют правильный многогранник в четырехмерном пространстве. На рисунке 1 показана корневая диаграмма so(4, 4) в виде 24-ячейника.

Рис. 1. Корневая диаграмма алгебры Ли so(4, 4). Генераторы Вейля образуют вершины 24-х ячейника в четырехмерном пространстве.

Двадцатичетырёхячейник или октаплекс (другие названия: полиоктаэдр, икоситетрахор) является выпуклым правильным самодвойственным многогранником (политопом) в четырёхмерном пространстве. Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов.

Людвиг Шлефли (1814-1895).

Октаплекс содержит 24 вершины, 96 рёбер равной длины, 96 двумерных граней (одинаковые правильные треугольники) и 24 трёхмерных ячейки (одинаковые октаэдры). На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки. В каждой вершине сходятся по 8 рёбер, по 12 граней и по 6 ячеек. Группа симметрии F4 (группа Коксетера [5]) этого многогранника имеет порядок, равный 1152. На рис. 1 изображена проекция октаплекса на двумерную плоскость. Проекцию октаплекса на трёхмерное пространство показывает диаграмма Шлегеля (см. рис. 2).

Рис. 3. Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) двадцатичетырёхъячейника в трёхмерное пространство.

Октаплекс - единственный самодвойственный правильный политоп размерности больше 2, не являющийся симплексом. Этим обусловлена уникальность октаплекса: в отличие от пяти других правильных четырёхмерных многогранников (пентахор, тессеракт, гипероктаэдр, гипердодекаэдр и гекзакосихор, см. рис. 4-8) он не имеет аналога среди платоновых тел (правильных трёхмерных многогранников).

Рис. 4. Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника (пентахора) в трёхмерное пространство. Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки. Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки. Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке. Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

Рис. 5. Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) тессеракта (гиперкуба) в трёхмерное пространство. Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Рис. 6. Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестнадцатиячейника (гипероктаэдр, поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра) в трёхмерное пространство. Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки. Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки. Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Рис. 7. Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство. Гипердодека́эдр, поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра. Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки. Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки. Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

Рис. 8. Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестисотячейника (гекзакосихора) в трёхмерное пространство. Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки. Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек. Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.

Не могу удержаться, чтобы не привести проекции гипердодекадра и гекзакосихора на двумерную плоскость (см. рис. 9-10). Это действительно, согласно Коксетеру, мир ослепительной красоты.

Рис. 9. Ортогональная проекция гипердодекаэдра на плоскость.

Рис. 10. Ортогональная проекция гекзакосихора на плоскость.

Возвращаясь к двацатичетырёхячейнику (октаплексу), следует отметить следующий важный момент. Трёхмерной ортографической проекцией октаплекса является кубооктаэдр (одно из 13-ти архимедовых тел), см. рис. 11.

Рис. 11. Кубооктаэдр - трёхмерная ортографическая проекция октаплекса.

Следует также отметить, что в четырёхмерном пространстве содержится наибольшее число различных типов правильных многогранников, равное 6. Для всех стальных n-мерных пространств при n>4 это число равно 3.

Возвращаясь к алгебре so(4, 4), видим, что четвёртый генератор L_78, понимаемый как генератор спина, коммутирует со всеми 15 генераторами подалгебры so(4, 2). Как следствие, базис Картана-Вейля (4) распадается на два структурно идентичных базиса

каждый из которых изоморфен базису Яо [6] для групповой алгебры двукратного накрытия Spin_+(4, 2) ≃ SU(2, 2) (двукратное накрытие конформной группы SO(4,2)). Базисы (5) и (6) определяют две корневые системы

Графически корневые системы (7) и (8) могут быть представлены двумя кубооктаэдрами, показанными на рисунке 12.

Рис. 12. Корневые диаграммы (кубооктаэдры) расщепленных базисов (5) и (6) алгебры Ли so (4, 4).

• Итак, действие генератора L_78 приводит к расщеплению базиса Картана-Вейля алгебры so(4, 4) на два структурно идентичных базиса подалгебры so(4, 2), что, в свою очередь, приводит к двум трёхмерным проекциям (кубооктаэдрам) четырёхмерной корневой диаграммы (октаплекса) алгебры so(4, 4).

Рассмотренная выше редукция корневой диаграммы алгебры so(4, 4) приводит к аналогичной редукции для весовой диаграммы. На рисунке 13 показаны две трехмерные проекции (SO (4, 2)-башни) весовой диаграммы алгебры Ли so(4, 4), соответствующие корневым системам (7) и (8).

Рис. 13. Периодическая система химических элементов в расщепленном базисе групповой алгебры двукратного накрытия Spin_+(4, 2) ≃ SU(2, 2).

Вертикальные оси каждой SO(4, 2)-башни образованы собственными значениями генератора Картана L_56, что добавляет к многообразию радиальный лестничный оператор. Каждый данный этаж SO (4, 2)-башни (круг Генцеля) характеризуется основным квантовым числом n. Горизонтальные полосы (на этажах) соответствуют различным l-подоболочкам (кольцам Генцеля), а точки представляют собой отдельные m-компоненты (конечномерные представления группы SO(4, 2)), определяющие элементы периодической таблицы Менделеева в соответствии с правилом Маделунга. Кольца, содержащие элементы с нечетной суммой n + l, обозначены желтым цветом, соответственно, кольца с четной суммой n + l обозначены синим цветом. Гомологичные элементы соединены вертикальными линиями (линиями Бейли-Томсена-Бора). Переходы между различными квантовыми уровнями обозначаются направленными линиями (линиями Генцеля). На радиальных осях SO(4, 2)-башен расположены металлы с квантовыми числами (n, l = 0, s = ±1/2), n = 1, 2, . . . На радиальной оси SO(4, 2)-башни с квантовым числом s = -1/2 (левая колонна) - щелочные металлы I группы (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr, . . .), соответственно, в правой колонне (s = +1/2) на радиальной оси расположены щелочноземельные металлы II группы (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra, . . .). По мере удаления от радиальных осей к периферии кругов Генцеля металличность
элементов уменьшается, а неметалличность увеличивается, что соответствует движению слева направо вдоль периода в стандартной периодической таблице Менделеева (металлы → амфотерные элементы → инертные газы).

Далее, на рисунке 14 показаны две объединенные трехмерные проекции (SO(4, 2)-башни) весовой диаграммы алгебры Ли so(4, 4) группы вращений SO(4, 4), соответствующие базисам (5) и (6).

Рис. 14. Периодическая таблица химических элементов в виде комбинированной весовой диаграммы расщепленных базисов (5) и (6) алгебры Ли so(4, 4).

Легко видеть, что на каждом этаже двойной башни SO(4, 2), показанной на рисунке 14, реализуется структура (j, j)-представлений Фока подгруппы SO(4) (целая часть весовой диаграммы подалгебры so(4), см. Рис. 3 в [4]). Первый
этаж (n = 1) содержит первый период, состоящий из водорода H и гелия He. H и
He образуют двойной синглет. На этаже n = 2 m-компоненты (элементы периодической таблицы Менделеева) образуют (1, 1)-диаграмму подалгебры so(4), содержащую второй период: двойной синглет (Be,Li) и два триплета (B,C,N), (Ne,F,O). Например, на четвертом n = 4 этаже SO(4, 2)-башни приходим к (3, 3)-диаграмме подалгебры so(4), которая завершает заполнение 4-го периода инертным газом Kr (криптон), см. рисунок 15.

Рис. 15. Уровень n = 4: (3, 3)-диаграмма подалгебры so(4) содержит завершение 4-го периода, переходные металлы 5-го периода Y, ..., Tc, Ru, ..., Cd, а такжесемейство лантаноидов La, Ce, , ,, Yb.

(3, 3)-диаграмма на рисунке 15 также содержит переходные металлы 5-го периода от иттрия Y к технецию Tc и от рутения Ru к кадмию Cd. Здесь, в рамках
(3, 3)-диаграммы на рисунке 15, представлено все семейство лантаноидов La, Ce, . . , Yb.

Таким образом, все элементы периодической таблицы сгруппированы в последовательность весовых SO(4)-диаграмм подалгебры so(4), расположенных на восьми этажах весовой диаграммы (двойная SO(4, 2)-башня,
рис. 14) алгебры so(4, 4).

На каждом этаже левой (s = -1/2) и правой (s = +1/2) башен (см. рис. 13)
имеется n^2 состояния, что соответствует размерности представлений подгруппы SO (4) и на этажах комбинированной башни (см. рис. 14) мы имеем реализации весовых диаграмм алгебры so (4). Таким образом, количество состояний (элементов) на каждом этаже комбинированной SO(4, 2)-башни определяется последовательностью Ридберга 2n^2:

которую Зоммерфельд в своей книге [7] назвал “каббалистической”. Далее следует удвоение периодов (за исключением первого).:

Первое удвоение (9) иногда называют “горизонтальным” (или спиновым), второе (10) - “вертикальным”.

Коммутация генератора L_78 со всеми 15 генераторами подалгебры so(4, 2) приводит к расщеплению базиса Картана-Вейля алгебры so(4, 4) и, соответственно, к первому удвоению (9). Весовая диаграмма алгебры so(4, 4) является четырехмерной, ось генератора L_78 перпендикулярна оси радиального генератора L_56, а также осям генераторов L_12 и L_34, т.е. ось генератора L_78 перпендикулярна трёхмерному весовому пространству, которое образовано на осях генераторов L_12, L_34, L_56, что, в свою очередь, приводит к “вертикальному” (фактическому) удвоению периодов (10).

Таким образом, фактическое удвоение периодов (10) является результатом действия четвёртого генератора L_78 (спиновый генератор) подалгебры Картана K алгебры Ли so(4, 4). В данном случае, спин - это четвёртая степень свободы, не имеющая аналога в рамках классической трехмерной системы. Спин - это эффект четвертого измерения.

Тот вещественный трёхмерный образ атома, формируемый средствами регистрирующей аппаратуры (масс-спектрометры, электронные и туннельные микроскопы) есть не более чем верхушка айсберга, основная часть которого погружена в мир четырёх (а может быть и более) измерений. Гейзенберг говорил: "Атомы - это не вещи".

ЛИТЕРАТУРА

1. Фет А.И. Группа симметрии химических элементов. Новосибирск: Наука, 2010.

2. Barut A.O. Group Structure of the Periodic System / The Structure of Matter: Rutherford Centennial Symposium. Ed. by B.G. Wybourne. Christchurch, New Zeland: University of Canterbury Press, 1972. P.~126--136.

3. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов //Математические структуры и моделирование. 2018. № 2(46). C.~5--23. https://msm.omsu.ru/jrns/jrn46/varl1801.pdf

4. Varlamov V.V.: The Periodic Table and the Group SO(4,4). arXiv:2501.18272 [math-ph] (2025). https://arxiv.org/abs/2501.18272

5. Coxeter H.S.M.: Regular Polytopes. Dover, Mineola, 1974.

6. Yao T.: Unitary Irreducible Representations of SU(2,2). I. J. Math. Phys. 1967. V. 8.
P. 1931–1954.

7. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М.: ГИТТЛ, 1956.