Понятие спина ввёл Паули в 1925 г., объясняя дублетную структуру спектра щелочных металлов (аномальный эффект Зеемана):
Дублетная структура спектров щелочных металлов, а также нарушение теоремы Лармора согласно этой точке зрения объясняется своеобразной, классически не описываемой двузначностью квантовотеоретических свойств излучающего электрона [1, c. 644].
Ван дер Варден отмечает:
Эту неподдающуюся классическому описанию двузначность электрона ныне мы называем спином [2, c. 236].
Отсюда видно, что понятие спина возникло из анализа спектроскопической проблемы, связанной со структурой периодической системы химических элементов.
Квантовая механика и первое построение квантовомеханической модели атома (модель Бора) привели пониманию того, что главной структурной характеристикой периодического закона является не линейное возрастание атомного веса, а структура квантовых чисел. Одним из первых, кто это осознал, был немецкий математик Герхард Генцель. Во введении к статье [3] Генцель пишет:
Прежние представления о периодической системе элементов как таблицы с горизонтальными и вертикальными рядами и столбцами (Мейер-Менделеев) или с соединительными линиями между родственными элементами уже не соответствуют нынешнему пониманию систематики элементов, поскольку не согласуются с результатами волновой механики и их выводами, которые в достаточной мере справедливо отражают химию и физику периодической системы. Исходя из элементарной геометрической конфигурации концентрических правильных многоугольников, получается многослойная плоскость, на которой эти многоугольники с нечетным числом углов распределяются таким образом, что каждый многоугольник окружен контуром предыдущего. Эта плоскость, которая, таким образом, берет свое начало из одного из первых объектов геометрии, оказывается подходящим носителем системы химических элементов, поскольку ее структура и топология полностью соответствуют теоремам, управляющим этой системой.
На Рис. 1 показано применение Polygonfläche, к периодической системе химических элементов.
На момент написания Генцелем статьи [3] (1942г.) было известно только 94 элемента. С учётом современного знания периодической системы на рис. 1 представлено следующее расширение Polygonfläche: 1) добавлено 24 новых элемента, начиная от америция Am (𝑍 = 95) до оганессона Og (𝑍 = 118), что привело к расширению листа 𝑛 = 5 до кольца 𝑙 = 3 и листа 𝑛 = 7 до кольца 𝑙 = 2; 2) добавлен лист 𝑛 = 8, 𝑙 = 0, содержащий два гипотетических элемента Uue (𝑍 = 119) и Ubn (𝑍 = 120), поскольку эти элементы логически завершают 𝑓-оболочку
В этом же году (1943г.) в Zeitschrift fur Physik выходит статья Вильгельма
Финке [4], посвященная замечаниям по Polygonfläche Генцеля. Во-первых, Финке приводит Polygonfläche в соответствие с правилом Маделунга. Во-вторых,
раздвигает в пространстве круги Генцеля, образуя тем самым трёхмерное представление периодической системы (см. рис. 2). Среди главных преимуществ
трёхмерного представления следует отметить появление графической связи
между гомологичными элементами (линии Бэйли-Томсена-Бора). Однако при
этом теряется порядок заполнения квантовых уровней (кругов и колец Генцеля) периодической системы, который в Polygonfläche осуществляется с помощью направленных линий (см. рис. 1). В связи с этим, обе системы (Генцеля и
Финке) следует рассматривать как взаимодолняющие. Так же как и в случае
с Polygonfläche, к системе Финке на рис. 2 добавлены неизвестные на момент
1943г. элементы, т.е. расширены круги 𝑂 и 𝑄, а также добавлен круг 𝑅 с гипотетическими элементами.
В обеих системах первые три квантовые числа 𝑛, 𝑙 и 𝑚 имеют ясное геометрическое представление, первоначально заимствованное Бором в его планетарной модели атома из небесной механики (радиальные и азимутальные движения). В отличие от них четвёртое квантовое число 𝑠 (спин) на плоскости
(Polygonfläche) или в пространстве (система Финке) имеет явно искусственное представление в виде двух точек на трансверсалях. Всё это говорит о том, что
понятие спина не вмещается в трёхмерное представление. Поэтому все попытки
дать механическую интерпретацию спина в рамках трёхмерного пространства
не имели успеха (например, первоначальное представление Уленбека-Гаудсмита
о вращающемся волчке). Спин – это объект четырёхмерного мира, или, может
быть, более правильно, – эффект четвёртого измерения.
В 1971 г. академик В.А. Фок в своей работе [5] поставил главный для учения о принципе периодичности и теории периодической системы вопрос:
Вмещаются ли свойства атомов и их составных частей в рамки чисто про-странственных представлений или же нужно как-то расширить понятия пространства и пространственной симметрии, чтобы вместить присущие атомами их составным частям степени свободы? [5, c. 108].
В конце статьи [2] Фок сам отвечает на им же поставленный вопрос:
Чисто пространственных степеней свободы электрона недостаточно для описания свойств электронной оболочки атома и нужно выйти за пределы чисто пространственных понятий, чтобы выразить те законы, которые лежат в основе периодической системы. Новая степень свободы электрона — его спин — позволяет описать чуждые классическим представлениям свойства физических систем. Эта внутренняя степень свободы электрона существенно необходима для формулировки свойств многоэлектронных систем, а тем самым и для теоретического обоснования периодической системы Менделеева» [5, c. 116].
Очевидно, что под пространственными представлениями Фок понимал трёхмерное евклидово пространство, в рамках которого реализуется модель Бора, и где чисто пространственные степени свободы, описываемые квантовыми числами n, l, m, имеют ясный геометрический смысл.
Связать спин с четвёртым измерением позволяет теория групп. Так, согласно теоретико-групповому описанию периодической системы [6-11] первые три
квантовые числа 𝑛, 𝑙 и 𝑚 соответствуют собственным числам 𝜈, 𝜆 и 𝜇_𝜆 генераторов L_56, L_12 и L_34, образующих подалгебру Картана K алгебры Ли so(4, 2) конформной группы SO(4, 2). so(4, 2) есть алгебра Ли третьего ранга, поэтому все корневые и весовые диаграммы этой алгебры являются трёхмерными системами. Для адекватного описания спина в рамках теоретико-групповой схемы требуется переход к алгебре Ли четвёртого ранга. Такой алгеброй является so(4, 4) – алгебра Ли группы вращений SO(4, 4) восьмимерного псевдоевклидова пространства R(4,4). В этом случае подалгебра Картана K ⊂ so(4, 4) содержит четыре генератора L_56, L_12, L_34 и L_78. Четвёртый генератор L_78, понимаемый как генератор спина, коммутирует со всеми 15-ю генераторами подалгебры so(4, 2). Как следствие, базис алгебры двулистного накрытия Spin_+(4, 4) расщепляется на два структурно идентичных базиса, каждый из которых изоморфен базису Яо [11] для групповой алгебры группы Spin_+(4, 2) ≃ SU(2, 2). На рис.3 показаны корневые диаграммы, соответствующие расщеплённому базису алгебры двулистного накрытия Spin_+(4, 4).
Корневые диаграммы на рис. 3 приводят к новому представлению периодической системы элементов (см. рис. 4).
Подробное рассмотрение структуры этой новой формы представления периодической системы будет темой следующей статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Pauli W. Uber den Einfluss der Geschwindigkeitsabh ¨ angigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt // Z. Phys. 1925. V. 31. P. 373–385. Русский перевод: Паули В. Труды по квантовой теории. Т. 1. М. : Наука, 1975. С. 634–644.
2. Ван дер Варден Б. Принцип запрета и спин // Теоретическая физика 20 века. М. : Изд. ин. лит., 1962. С. 231–284.
3. Haenzel G. Die Polygonfläche und das Periodische System der Elemente // Zeitschrift f¨ur Physik. 1943. V. 120. P. 283–300.
4. Finke W. Bemerkungen zu G. Haenzel „Die Polygonfläche und das Periodische System der Elemente."// Zeitschrift f¨ur Physik. 1943. V. 121. P. 586–587.
5. Фок В.А. Вмещаются ли химические свойства атомов в рамки чисто пространственных представлений? // Периодический закон и строение атома. М. : Атомиздат, 1971. С. 107–117.
6. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов // Математические структуры и моделирование. 2018. № 2(46). C. 5–23. http://msm.omsu.ru/jrns/jrn46/varl1801.pdf
7. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов II.: Таблица Сиборга // Математические структуры и моделирование. 2019. № 1(49). C. 5–21. http://msm.omsu.ru/jrns/jrn49/varl1802.pdf
8. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов III.: 10-периодическое расширение // Математические структуры и моделирование. 2019. № 3(51). C. 5–20. http://msm.omsu.ru/jrns/jrn51/varl1901.pdf
9. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов IV.: Групповая алгебра // Математические структуры и моделирование. 2024. № 1(69). C. 18–31. http://msm.omsu.ru/jrns/jrn69/varl2301.pdf
10. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов V.: Весовая диаграмма // Математические структуры и моделирование. 2024. № 3(71). C. 4–18. http://msm.omsu.ru/jrns/jrn71/varlamov5.pdf
11. Varlamov V.V.: The Periodic Table and the Group SO(4, 4). arXiv. 2025.
arXiv:2501.18272 [math-ph]. https://arxiv.org/abs/2501.18272