Банк обновили — и новые задания подъехали!
Теория: формула классической вероятности
Нам понадобится формула классической вероятности: P = m / n, где P - вероятность наступления события, m - количество благоприятных (нужных нам) исходов события, n - количество всех исходов события.
Подробнее о формуле и других типах задания 10, которые решаются через неё — здесь.
Разбор
Тип 1: благоприятные события
Пример 1. В случайном опыте N = 30 равновозможных элементарных событий, из которых N(A) = 27 благоприятствуют событию A. Вычислите вероятность события A.
По формуле классической вероятности: 27 : 30 = 0,9.
Ответ: 0,9.
Пример 2. В случайном опыте N = 35 равновозможных элементарных событий, из которых N(A) = 21 благоприятствуют событию A. Вычислите вероятность события A.
По формуле классической вероятности: 21 : 35 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Тип 2: орел и решка
Пример 1. Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Если орёл выпал 9 раз, тогда решка выпала 20 - 9 = 11 раз.
Воспользуемся формулой классической вероятности. Всего бросков 20, благоприятных 11. Тогда P = 11 : 20 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Пример 2. Монету бросили 25 раз. Известно, что орёл выпал 12 раз. Найдите вероятность того, что при пятом по счёту броске выпала решка.
Если орёл выпал 12 раз, тогда решка выпала 25 - 12 = 13 раз.
Воспользуемся формулой классической вероятности. Всего бросков 25, благоприятных 13. Тогда P = 13 : 25 = 0,52.
Ответ: 0,52.
Тип 3: один маркер
Пример 1. Под классной доской в лотке лежат 12 чёрных и 18 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
В лотке 12 черных и 18 синих маркеров, то есть всего 30 штук. Тогда вероятность достать синий 18 : 30 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Пример 2. Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 7 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
В лотке 28 черных и 7 синих маркеров, то есть всего 35 штук. Тогда вероятность достать синий 7 : 35 = 0,2.
Ответ: 0,2.
Тип 4: два карандаша
Пример 1. Из ящика, где хранятся 7 жёлтых и 14 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.
После того, как достали первый карандаш, в ящике осталось 7 желтых и 13 зеленых карандашей, то есть всего 20 штук. Тогда вероятность снова достать зеленый 13 : 20 = 0,65
Ответ: 0,65.
Пример 2. Из ящика, где хранятся 12 жёлтых и 9 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.
После того, как достали первый карандаш, в ящике осталось 12 желтых и 8 зеленых карандашей, то есть всего 20 штук. Тогда вероятность снова достать зеленый 8 : 20 = 0,4.
Ответ: 0,4.
Теория: дерево событий
Дерево является графическим представлением последовательных случайных событий. Пример на рисунке.
Здесь:
- вершины — событие - точки (A, B, C, D, E);
- рёбра (ветви) — переходы между событиями - отрезки (AB, AC, CD, CE);
- начальная вершина (А) — старт опыта;
- конечные вершины (В, D, E) — элементарные события.
Чтобы найти вероятность цепочки событий (например, A-C-D), нужно умножить вероятности вдоль ребер AC и CD.
Вероятность события D или E равна сумме вероятностей цепочек A-C-D и A-C-E.
Разбор
Тип 5: дерево
Пример 1. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события В.
Чтобы найти вероятность В, нужно сложить вероятности по цепочкам S-A-B и S-Ā-B.
Вероятность S-A-B = 0,25 · 0,2 = 0,05.
Вероятность S-Ā-B = 0,75 · 0,6 = 0,45.
Их сумма 0,05 + 0,45 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 2. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события В.
Чтобы найти вероятность В, нужно сложить вероятности по цепочкам S-A-B и S-Ā-B.
Вероятность S-A-B = 0,25 · 0,8 = 0,2.
Вероятность S-Ā-B = 0,75 · 0,4 = 0,3.
Их сумма 0,2 + 0,3 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Теория: диаграмма Эйлера
С помощью диаграммы Эйлера можно наглядно представлять события и их вероятности.
Каждое множество элементов представляет собой круг. На рисунке представлено множество А.
Также множества могут пересекаться, но при этом каждое остается кругом. На рисунке обозначены множества А и В в случае пересечения.
Пересечение множеств обозначается символом ∩ (логическое И) и содержит в себе все элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В.
Объединение множеств обозначается символом ∪ (логическое ИЛИ) и содержит в себе все элементы, принадлежащие и множеству А, и множеству В.
Существует универсальное множество — такое множество, куда входят все возможные элементы всех возможных множеств.
Дополнение множества А обозначается Ā (логическое НЕ) и содержит в себе все элементы универсального множества кроме тех, которые входят в множество А.
Разбор
Тип 6: точки
Пример 1. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий А и В в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события A ∪ B̅.
Я сразу обозначила все точки числами.
В множество А включено 5 точек (1-5).
В множество В включено 6 точек (4-9), тогда в B̅ включено 4 точки (1-3 и 10).
Для нахождения объединения нужно взять все возможные точки без повторений. Тогда их 6 (1-5 и 10).
Всего точек 10. Тогда найдём классическую вероятность: P = 6 : 10 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Пример 2. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события A ∪ B.
В А входят 5 точек (1-5) в В входят 6 точек (4-9). Их объединение включает все эти точки без повторений, то есть 1-9, тогда точек 9. Всего точек на рисунке 10.
Тогда вероятность 9 : 10 = 0,9.
Ответ: 0,9.
Тип 7: вероятности
Пример 1. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий А и В в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события А.
В множество А входят 4 точки. Сложим их вероятности: 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,7.
Ответ: 0,7.
Пример 2. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события, и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A ∩ B̅.
В A входит 0,1; 0,2; 0,1 и 0,3.
В B̅ входит 0,1; 0,2; 0,05 и 0,1.
Тогда их пересечение, содержащее только общие элементы, включает 0,1 и 0,2, что в сумме 0,3.
Ответ: 0,3.
Тип 8: числа
Пример 1. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A ∪ B.
Объединение А и В = 18 + 6 + 12 = 36. Сумма всех чисел: 36 + 24 = 60. Тогда вероятность 36 : 60 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Пример 2. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события Ā ∪ B.
В Ā входит 12 и 24. В В входит 6 и 12. Их объединение содержит все элементы без повторений, то есть 6, 12 и 24.
Тогда их объединение 6 + 12 + 24 = 42, а всего 6 + 12 + 18 + 24 = 60.
Вероятность 42 : 60 = 0,7.
Ответ: 0,7.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
Какой тип (1–8) оказался самым сложным?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 10.
👉 Разбор других типов задания 10 - здесь.
👉 Разбор самых частых ошибок - здесь.
👉 Тренажёр - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.