Спутниковый снимок облаков - и сразу мысль: да это же те же трещины на асфальте, только в небе. Потом смотришь на рентген лёгких - и снова то же ветвление, что в молнии, ударившей за городом. Мир будто повторяет сам себя, но не до конца, а как-то... бесконечно.
Это не глюк восприятия. Это фракталы. И они - не просто «красивые картинки». Это продолжение той самой симметрии, о которой мы говорили в прошлый раз. Только если классическая симметрия работает в конечном мире, фракталы уводят нас туда, где правила перестают быть целыми числами.
Симметрия: порядок, который мы привыкли любить
Говоря о симметрии, о том, как Эмми Нётер доказала: каждой симметрии соответствует закон сохранения. О том, как Евграф Фёдоров вывел 230 групп пространственной симметрии - по ним, кстати, строятся все кристаллы на Земле. О том, как нарушение симметрии в слабых взаимодействиях заставило физиков спросить: «А Бог, случайно, не левша?».
Симметрия - это порядок. Предсказуемость. Когда можно повернуть кристалл - и он совпадёт с собой. Когда можно сдвинуть систему во времени - и законы не изменятся.
Фракталы - это когда симметрия перестаёт укладываться в целые числа. И начинает требовать бесконечности.
Человек, который заглянул туда, где нет границ
Феликс Хаусдорф был блестящим математиком. В начале XX века он сделал то, что до него не удавалось никому: ввёл понятие дробной размерности. Звучит сухо, правда? На самом деле это означало, что мир перестал быть чёрно-белым.
Хаусдорф доказал: объект может быть «чуть больше», чем линия, но «чуть меньше», чем плоскость. Береговая линия - это не просто линия. Снежинка - не просто фигура. Они занимают промежуточное положение. Их симметрия не укладывается в единицы и двойки.
В 1942 году нацистские преследования загнали Хаусдорфа в тупик. Он уже понимал: реальность зыбка. Привычные нам «одно», «два», «три» - лишь приближения. На самом деле мир состоит из объектов с размерностью 1,26 или 2,73. Учёные, правда, до сих пор спорят, насколько это меняет наше восприятие пространства.
Фракталы начинались с трагедии. И с нарушения привычной симметрии целых чисел.
Люди, которые не побоялись смотреть в бесконечность
Гастон Жюлиа не просто ходил в маске после ранения в Первую мировую. Он спрятал лицо - но открыл множества, которые до сих пор называют «монстрами». Он смотрел в бесконечность итераций - циклов вычислений, где результат одного шага становится началом следующего. Его множества обладают удивительным свойством: они симметричны относительно бесконечного числа преобразований.
Льюис Ричардсон пытался измерить границы между странами, чтобы понять причины войн. И обнаружил парадокс: чем точнее линейка, тем длиннее граница. Граница ускользала от него. Он понял: конфликты неизбежны, потому что сам принцип разделения территории - иллюзия. Граница не имеет определённой длины, потому что её размерность - не единица, а нечто среднее.
Бенуа Мандельброт - единственный, кто не сошёл с ума, а просто «играл с картинками». Работая в IBM, он заметил: графики шумов в электронных схемах выглядят одинаково в любом масштабе. Это свойство он назвал самоподобием - разновидностью симметрии, которая работает не на конечных группах преобразований, а на бесконечных итерациях.
Кстати, об этом часто спрашивают: а можно ли «увидеть» фрактал без компьютера? Можно. Достаточно посмотреть на папоротник.
Фрактал как зеркало: когда симметрия требует бесконечности
В классической симметрии мы имеем дело с конечным числом преобразований. Повернули кристалл - он совпал. Отразили снежинку - она не изменилась. Всё чётко, всё конечно.
Фрактал - это когда симметрия требует бесконечности.
Посмотрите на папоротник. Каждый листочек подобен всему листу. Но это подобие не исчерпывается одним-двумя преобразованиями. Оно уходит в бесконечность. Можно приближаться сколько угодно - и каждый раз будет открываться новый уровень.
В классическом фрактале «дерево Пифагора» это видно особенно отчётливо. Он строится на основе теоремы Пифагора: на каждом шаге к квадратам достраиваются новые квадраты. При этом сохраняется главное свойство - сумма площадей частей равна целому. Это отражение закона сохранения, который Нётер связывала с симметрией. Только здесь симметрия работает не в пространстве-времени, а в бесконечной иерархии масштабов.
Леонардо да Винчи эмпирически вывел закон ветвления деревьев: на каждом уровне суммарная площадь поперечного сечения всех ветвей одинакова и равна площади сечения ствола. Он не знал слова «фрактал», но чувствовал: природа повторяет себя, сохраняя не форму, а нечто более глубокое - пропорции.
Там, где математика встречается с искусством
Джексон Поллок не просто разбрызгивал краску. Его картины - это застывший хаос, который, как выяснил физик Ричард Тейлор, обладает строгой фрактальной размерностью. Поллок писал бесконечность - и это, возможно, свело бы его с ума, если бы не смерть. Сегодня тест на фрактальность используют для идентификации подлинных полотен: подделки не имеют той же размерности. Симметрия хаоса оказалась уникальной.
Морис Эшер рисовал муравьёв, идущих по ленте Мёбиуса, и руки, рисующие руки. Это чистый фрактал, доведённый до абсурда. Здесь симметрия замыкается на себя, создавая бесконечность в конечном. Его работы вызывают тошноту у людей с неустойчивой психикой - потому что они видят отражения, уходящие в никуда.
Хокусай в «Большой волне в Канагаве» изобразил волну, которая состоит из маленьких волн, которые состоят из ещё более маленьких. Это та же симметрия, что и в кристаллах, только умноженная на бесконечность.
В литературе концепция «текст в тексте» в романах Борхеса, Набокова, Булгакова обладает свойствами самоподобия. «Венок сонетов» в поэзии Серебряного века - классический литературный фрактал, где последний сонет состоит из первых строк всех предыдущих. Симметрия смыслов.
Фракталы внутри нас: мы носим бесконечность в груди
Наши лёгкие, кровеносная система - это фракталы. Площадь поверхности лёгких, если её развернуть, равна теннисному корту. Природа использует фрактальное ветвление, чтобы упаковать максимум функциональности в ограниченный объём. Это та же симметрия, что и в дереве Пифагора: сумма частей сохраняет целое, но в трёх измерениях.
Дерево как живой организм - двумерно. Вся жизнь сосредоточена в тонком слое под корой. Остальное - мёртвая древесина. Мы, люди, устроены сложнее, но принцип тот же: мы носим бесконечность внутри себя, даже не подозревая об этом.
Где прячется бесконечность
- Медицина: диагностика онкозаболеваний - если фрактальная сетка сосудов нарушена, это маркер патологии. Симметрия здоровья сменяется хаосом болезни.
- Антенны: фрактальные антенны работают лучше обычных, потому что используют самоподобие для захвата разных частот.
- Экономика: фракталы описывают колебания курсов валют. Хаос на бирже подчиняется тем же законам, что и ветвление деревьев.
- Физика: от броуновского движения до турбулентности - фракталы повсюду.
Вместо послесловия: симметрия, которая не заканчивается
Эмми Нётер показала нам, что симметрия рождает законы сохранения. Фёдоров - что симметрия структурирует материю. Хаусдорф, Жюлиа и Мандельброт показали другое: симметрия может быть бесконечной.
Классическая симметрия говорит: сделай одно преобразование - и мир не изменится. Фрактальная симметрия говорит: делай преобразование снова и снова, и каждый раз будет открываться новый уровень, но общая структура сохранится.
Это та же идея, но доведённая до предела. Симметрия, которая не знает границ. Или, может быть, это мы не готовы принять, что мир устроен сложнее, чем нам кажется.
Посмотрите вокруг. Ветка, похожая на дерево. Облако, похожее на гору. Река, похожая на ветку. Мир - это бесконечное зеркало, в котором симметрия порождает саму себя.
P.S.
Напишите в комментариях, какие примеры самоподобия вы замечали в своей жизни. А лайки... лайки для нас - как маленькие отражения того, что вы были здесь. Поставьте его, чтобы оставить след в бесконечности. Алгоритмы Дзена любят следы почти так же, как природа любит симметрию.
Источники
- Вдовина Г.М., Трубецков Д.И. Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, № 2. С. 208–222.
- Трубецков Д.И., Трубецкова Е.Г. Фрактальное искусство // Известия вузов. ПНД. 2016. Т. 24, № 6. С. 84–103.
- Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
- Вигнер Э. Этюды о симметрии. М., 1971.
- Вейль Г. Симметрия. М., 1968.
- Овчинников Н.Ф. Принципы теоретизирования в науке. М., 1997.
- Richardson L.F. The problem of contiguity: An appendix to statistics of deadly quarrels // General Systems Yearbook. 1961. Vol. 6. P. 139–187.
- Taylor R.P., Micolich A.P., Jonas D. Fractal analysis of Pollock's drip paintings // Nature. 1999. Vol. 399. P. 422.