Уравнения 4-ой степени решать не учили — и не будем, да? Если понять логику, то нужно будет решить не уравнение четвертой степени, а уравнение второй степени.
Пример 1
Решите уравнение: x⁴ = (x - 2)².
Извлечем квадратные корни из обеих частей уравнения:
1. √x⁴ = x².
2. √(x - 2)² = |x - 2|.
Почему так: где-то просто значение, а где-то модуль?
Поясню. x⁴ — положительное число, получаемый из него x² тоже положительное число. Значит, преобразование тождественное, т.е. мы не добавили себе лишних корней.
Далее. (x - 2)² — положительное число, а вот получаемое из него x - 2 — не всегда. Если не добавить модуль — мы добавим себе лишние посторонние корни. Модуль страхует нас от этого, поэтому что он всегда положителен.
Таким образом, уравнение имеет вид: x² = |x - 2|.
Модуль раскрывается так:
- Если x - 2 ≥ 0, т.е. x ≥ 2, то модуль раскрывается без изменений: x² = x - 2 => x² - x + 2 = 0.
- Если же x - 2 < 0, т.е. x < 2, то модуль раскрывается с противоположным знаком: x² = - (x - 2) => x² = - x + 2 => x² + x - 2 = 0.
Тогда получаем два уравнения второй степени: x² - x + 2 = 0 и x² + x - 2 = 0.
Решим первое уравнение. Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 1, c = 2. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 1)² - 4 · 1 · 2 = 1 - 8 = - 7. Дискриминант отрицателен, следовательно, корней у уравнения нет.
Решим второе уравнение. Выделим коэффициенты: a = 1, b = 1, c = - 2. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 1² - 4 · 1 · (- 2) = 1 + 8 = 9. Следовательно, √D = 3.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (- 1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
x = (-b + √D) / 2a = (- 1 - 3) / 2 = - 4 / 2 = - 2.
Вспомним про ограничения этого случая (x < 2), тогда все корни подходят.
Ответ: x = 1 и x = - 2.
Пример 2
Решите уравнение: x⁴ = (3x - 10)².
Извлечем квадратные корни из обеих частей уравнения:
1. √x⁴ = x².
2. √(3x - 10)² = |3 - 10|.
Почему так: где-то просто значение, а где-то модуль?
Поясню. x⁴ — положительное число, получаемый из него x² тоже положительное число. Значит, преобразование тождественное, т.е. мы не добавили себе лишних корней.
Далее. (3x - 10)² — положительное число, а вот получаемое из него 3x - 10 — не всегда. Если не добавить модуль — мы добавим себе лишние посторонние корни. Модуль страхует нас от этого, поэтому что он всегда положителен.
Таким образом, уравнение имеет вид: x² = |3x - 10|.
Модуль раскрывается так:
- Если 3x - 10 ≥ 0, т.е. x ≥ 10 / 3, то модуль раскрывается без изменений: x² = 3x - 10 => x² - 3x + 10 = 0.
- Если же 3x - 10 < 0, т.е. x < 10 / 3, то модуль раскрывается с противоположным знаком: x² = - (3x - 10) => x² = - 3x + 10 => x² + 3x - 10 = 0.
Тогда получаем два уравнения второй степени: x² - 3x + 10 = 0 и x² + 3x - 10 = 0.
Решим первое уравнение. Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 3, c = 10. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 3)² - 4 · 1 · 10 = 9 - 40 = - 31. Дискриминант отрицателен, следовательно, корней у уравнения нет.
Решим второе уравнение. Выделим коэффициенты: a = 1, b = 3, c = - 10. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 3² - 4 · 1 · (- 10) = 9 + 40 = 49. Следовательно, √D = 7.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (- 3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2.
x = (-b + √D) / 2a = (- 3 - 7) / 2 = - 10 / 2 = - 5.
Вспомним про ограничения этого случая (x < 10 / 3), тогда все корни подходят.
Ответ: x = 2 и x = - 5.
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Взять квадратный корень из обеих частей уравнения. Если часть не теряет своего знака, то она извлекается без каких-либо нюансов (как √x⁴ = x²), если же знак меняется, то применяется модуль (как √[выражение]² = |{выражение}|)
- Раскрыть модуль и получить два уравнения типа: x² = - [выражение] и x² = [выражение].
- Решить уравнения (обычно одно из них имеет отрицательный дискриминант, поэтому по сути нужно решить всего одно).
- Записать полученные корни в ответ.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
Хотелось бы попробовать свои силы в тренажёре по типам задания 20?
📌 Хочешь сразу все типы задания 20?
Мы готовимся к ОГЭ системно — по плану вторая часть будет ближе к маю.
Но если не терпится разобрать уравнения уже сейчас, я собрала все статьи в одной подборке:
👉 Вторая часть: задание 20 (все типы уравнений - здесь.
Там и новые типы, и сложные случаи, и разборы с лайфхаками.
Забирай, пока готовишься 🔥
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — задание 21.
👉 Разбор всех типов, ошибок и тренажёр - [выйдет к концу апреля: сразу добавлю ссылку]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придёт к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.