Видишь корень — и дальше даже не читаешь? Тогда ты теряешь два балла! Корни — не самая сложная вещь. Сейчас докажу.
Пример 1
Решите неравенство: (x - 4)² < √6 · (x - 4).
Перенесем все в левую часть: (x - 4)² - √6 · (x - 4) < 0.
Вынесем (x - 4) за скобки: (x - 4) · (x - 4 - √6) < 0.
Приравняем к нулю, чтобы найти значения, которые будем отмечать на координатной прямой: (x - 4) · (x - 4 - √6) = 0.
Если произведение равно нулю, то какой-либо из его множителей должен быть равен нулю.
Тогда:
1. x - 4 = 0 => x = 4.
2. x - 4 - √6 = 0 => x = 4 + √6.
Отметим полученные значения на координатной прямой и получим три интервала:
- (- ∞; 4)
- (4; 4 + √6)
- (4 + √6; + ∞)
🔥 ВАЖНО! Есть корень, поэтому для верной проверки интервалов нужно определить примерные значения (например, в виде десятичной дроби).
√6 не целое число, но знаем, что он находится между √4 и √9, т.е. между 2 и 3. Тогда наше значение 4 + √6 находится в диапазоне от 6 с небольшим до 7.
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Для этого возьмём любое значение с интервала и подставим его в неравенство.
- (- ∞; 4): x = 0 => (0 - 4)² - √6 · (0 - 4) = 16 - 16√6 > 0 => положительное число, то есть знак "+".
- (4; 4 + √6): x = 5 => (5 - 4)² - √6 · (5 - 4) = 1 - √6 < 0 => отрицательное число, то есть знак "-".
- (4 + √6; + ∞): x = 8 => (8 - 4)² - √6 · (8 - 4) = 16 - 16√6 > 0 => положительное число, то есть знак "+".
Неравенство имеет вид: (x - 4)² - √6 · (x - 4) < 0. Следовательно, нам нужно ответы со знаком "-" (потому что они < 0).
Ответ: x ∈ (4; 4 + √6).
Пример 2
Решите неравенство: (x - 8)² < √3 · (x - 8).
Перенесем все в левую часть: (x - 8)² - √3 · (x - 8) < 0.
Вынесем (x - 8) за скобки: (x - 8) · (x - 8 - √3) < 0.
Приравняем к нулю, чтобы найти значения, которые будем отмечать на координатной прямой: (x - 8) · (x - 8 - √3) = 0.
Если произведение равно нулю, то какой-либо из его множителей должен быть равен нулю.
Тогда:
1. x - 8 = 0 => x = 8.
2. x - 8 - √3 = 0 => x = 8 + √3.
Отметим полученные значения на координатной прямой и получим три интервала:
- (- ∞; 8)
- (8; 8 + √3)
- (8 + √3; + ∞)
🔥 ВАЖНО! Есть корень, поэтому для верной проверки интервалов нужно определить примерные значения (например, в виде десятичной дроби).
√3 не целое число, но знаем, что он находится между √1 и √4, т.е. между 1 и 2. Тогда наше значение 8 + √3 находится в диапазоне от 9 с небольшим до 10.
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Для этого возьмём любое значение с интервала и подставим его в неравенство.
- (- ∞; 8): x = 0 => (0 - 8)² - √3 · (0 - 8) = 64 - 64√3 > 0 => положительное число, то есть знак "+".
- (8; 8 + √3): x = 9 => (9 - 8)² - √3 · (9 - 8) = 1 - √3 < 0 => отрицательное число, то есть знак "-".
- (8 + √3; + ∞): x = 11 => (11 - 8)² - √3 · (11 - 8) = 9 - 9√3 > 0 => положительное число, то есть знак "+".
Неравенство имеет вид: (x - 8)² - √3 · (x - 8) < 0. Следовательно, нам нужно ответы со знаком "-" (потому что они < 0).
Ответ: x ∈ (8; 8 + √3).
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Перенести все в левую часть.
- Вынести за скобки общий множитель (обычно он имеет вид (x - a).
- Получить уравнение, приравняв полученное выражение к нулю и решить его (таким образом найдём значения, которые будем отмечать на координатной прямой).
- Отметить полученные корни на координатной прямой. Обычно один из них является целым числом, а второй имеет вид a + √b.
- Посчитать примерное значение a + √b, чтобы понять, в каком диапазоне оно находится (чтобы не брать числа из этого диапазона при проверка интервалов).
- Проверить знаки на каждом полученном интервале, беря любой x, принадлежащий интервалу, и подставляя его в уравнение.
- Определить подходящие для ответа интервалы (если неравенство имеет вид [выражение]> 0, то это интервалы со знаком "+"; если же [выражение] < 0, то это интервалы со знаком "-").
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
В неравенствах с корнем ты чаще путаешься в вынесении общего множителя за скобки или в определении знаков на интервалах?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
📌 Хочешь сразу все типы задания 20?
Мы готовимся к ОГЭ системно — по плану вторая часть будет ближе к маю.
Но если не терпится разобрать уравнения уже сейчас, я собрала все статьи в одной подборке:
👉 Вторая часть: задание 20 (все типы уравнений) - здесь.
Там и новые типы, и сложные случаи, и разборы с лайфхаками.
Забирай, пока готовишься 🔥
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — задание 21.
👉 Разбор всех типов, ошибок и тренажёр - [выйдет к концу апреля: сразу добавлю ссылку]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придёт к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.