Видишь скобку в четвертой степени и пропускаешь? Сейчас покажу, как надо.
Тип 1: квадрат = t
Пример 1
Решите уравнение: (x - 4)⁴ - 4(x - 4)² - 21 = 0.
Рассмотрим это уравнение. В нём: (x - 4)⁴ = ((x - 4)²)².
Тогда можем представить его в виде: ((x - 4)²)² - 4(x - 4)² - 21 = 0.
Заметим одинаковые выражения, содержащие x — это (x - 4)².
Сделаем замену: t = (x - 4)².
🔥 ВАЖНО! t = числу в квадрате, следовательно, t ≥ 0.
Тогда уравнение примет вид: t² - 4t - 21 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 4, c = - 21. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 4)² - 4 · 1 · (- 21) = 16 + 84 = 100. Следовательно, √D = 10.
Найдём корни уравнения:
🔥 ВАЖНО! Мы ищем не x, а t! Многие по привычке пишут x = ... — это ошибка!
t = (-b + √D) / 2a = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7.
t = (-b - √D) / 2a = (4 - 10) / 2 = - 6 / 2 = - 3.
Тогда t = 7 и t = - 3.
Вспомним про выставленное ограничение (t ≥ 0), тогда - 3 — посторонний корень, а вот 7 подходит.
Делаем обратную замену: 7 = (x - 4)².
Раскроем скобки, перенесем все в одну часть и приведём подобные: 7 = x² - 8x + 16 => x² - 8x + 16 - 7 = 0 => x² - 8x + 9 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 8, c = 9. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 8)² - 4 · 1 · 9 = 64 - 36 = 28. Следовательно, √D = √28 = √(7 · 4) = 2√7.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (8 + 2√7) / 2 = 4 + √7.
x = (-b + √D) / 2a = (8 - 2√7) / 2 = 4 - √7.
Ответ: x = 4 + √7, x = 4 - √7.
Пример 2
Решите уравнение: (x - 2)⁴ + 3(x - 2)² - 10 = 0.
Рассмотрим это уравнение. В нём: (x - 2)⁴ = ((x - 2)²)².
Тогда можем представить его в виде: ((x - 2)²)² + 3(x - 2)² - 10 = 0.
Заметим одинаковые выражения, содержащие x — это (x - 2)².
Сделаем замену: t = (x - 2)².
🔥 ВАЖНО! t = числу в квадрате, следовательно, t ≥ 0.
Тогда уравнение примет вид: t² + 3t - 10 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 3, c = - 10. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 3² - 4 · 1 · (- 10) = 9 + 40 = 49. Следовательно, √D = 7.
Найдём корни уравнения:
🔥 ВАЖНО! Мы ищем не x, а t! Многие по привычке пишут x = ... — это ошибка!
t = (-b + √D) / 2a = (- 3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2.
t = (-b + √D) / 2a = (- 3 - 7) / 2 = - 10 / 2 = - 5.
Тогда t = 2 и t = - 5.
Вспомним про выставленное ограничение (t ≥ 0), тогда - 5 — посторонний корень, а вот 2 подходит.
Делаем обратную замену: 2 = (x - 2)².
Раскроем скобки, перенесем все в одну часть и приведём подобные: 2 = x² - 4x + 4 => x² - 4x + 4 - 2 = 0 => x² - 4x + 2 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 4, c = 2. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 4)² - 4 · 1 · 2 = 16 - 8 = 8. Следовательно, √D = √8 = √(2 · 4) = 2√2.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (4 + 2√2) / 2 = 2 + √2.
x = (-b + √D) / 2a = (4 - 2√2) / 2 = 2 - √2.
Ответ: x = 2 + √2, x = 2 - √2.
Тип 2: дробь = t
Пример 1
Решите уравнение:
Рассмотрим это уравнение. В нём: (1 / x²) = (1 / x)²; (4 / x) = 4 · (1 / x).
Тогда можем представить его в виде: (1 / x)² + 4(1 / x) - 12 = 0.
Заметим одинаковые выражения, содержащие x — это (1 / x).
Сделаем замену: t = (1 / x).
🔥 ВАЖНО! t = дроби, в которой x в знаменателе. Знаменатель не может быть равную нулю, значит x ≠ 0. Значит вся дробь тоже не может быть равно нулю => t ≠ 0.
Тогда уравнение примет вид: t² + 4t - 12 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 4, c = - 12. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 · 1 · (- 12) = 16 + 48 = 64. Следовательно, √D = 8.
Найдём корни уравнения:
🔥 ВАЖНО! Мы ищем не x, а t! Многие по привычке пишут x = ... — это ошибка!
t = (-b + √D) / 2a = (- 4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2.
t = (-b + √D) / 2a = (- 4 - 8) / 2 = - 12 / 2 = - 6.
Тогда t = 2 и t = - 6.
Вспомним про выставленное ограничение (t ≠ 0), тогда оба корня подходят.
Делаем обратную замену:
1. 2 = 1 / x. Отсюда: 2x = 1 => x = 1 / 2.
2. 6 = 1 / x. Отсюда: - 6x = 1 => x = - 1 / 6.
Вспомним про выставленное ограничение (x ≠ 0), тогда оба корня подходят.
Ответ: x = 1 / 2, x = - 1 / 6.
Пример 2
Решите уравнение:
Рассмотрим это уравнение. В нём: 1 / (x - 2)² = (1 / (x - 2)².
Тогда можем представить его в виде: (1 / (x - 2))² - 1 / (x - 2) - 6 = 0.
Заметим одинаковые выражения, содержащие x — это 1 / (x - 2).
Сделаем замену: t = 1 / (x - 2).
🔥 ВАЖНО! t = дроби, в которой x - 2 в знаменателе. Знаменатель не может быть равную нулю, значит x ≠ 2. Значит вся дробь тоже не может быть равно нулю => t ≠ 0.
Тогда уравнение примет вид: t² - t - 6 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 1, c = - 6. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 1)² - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25. Следовательно, √D = 5.
Найдём корни уравнения:
🔥 ВАЖНО! Мы ищем не x, а t! Многие по привычке пишут x = ... — это ошибка!
t = (-b + √D) / 2a = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3.
t = (-b + √D) / 2a = (1 - 5) / 2 = - 4 / 2 = - 2.
Тогда t = 3 и t = - 2.
Вспомним про выставленное ограничение (t ≠ 0), тогда оба корня подходят.
Делаем обратную замену:
1., 3 = 1 / (x - 2). Отсюда: 3 · (x - 2) = 1 => 3x - 6 = 1 => 3x = 7 => x = 7 / 3.
2, - 2 = 1 / (x - 2). Отсюда: - 2 · (x - 2) = 1 => - 2x + 4 = 1 => - 2x = - 3 => x = 3 / 2 = 1,5.
Вспомним про выставленное ограничение (x ≠ 2), тогда оба корня подходят.
Ответ: x = 7 / 3, x = 1,5.
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Выделить в уравнении "повторяющееся" выражение, содержащее x.
- Сделать замену t = [выражение с x]: если она проведена верно, то x в уравнении остаться не должно.
- Проверить наличие ограничений для x и для t: если не проверить, потом будет нужно решать уравнение, которое в итоге не даст корней.
- Решить уравнение с t и проверить, попадают ли полученные корни под ограничение для t: если нет — работаем с корнем дальше, если да — он посторонний, больше с ним не работаем.
- Провести обратную замену: t = [выражение c x].
- Решить уравнение с x и проверить, попадают ли полученные корни под ограничения для x: если нет — записываем его в ответ, если да — он посторонний, в ответ не попадает.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
Где замена очевиднее: в уравнениям с 4-ой степенью или в уравнениях с дробями?
📌 Хочешь сразу все типы задания 20?
Мы готовимся к ОГЭ системно — по плану вторая часть будет ближе к маю.
Но если не терпится разобрать уравнения уже сейчас, я собрала все статьи в одной подборке:
👉 Вторая часть: задание 20 (все типы уравнений - здесь.
Там и новые типы, и сложные случаи, и разборы с лайфхаками.
Забирай, пока готовишься 🔥
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — задание 21.
👉 Разбор всех типов, ошибок и тренажёр - [выйдет к концу апреля: сразу добавлю ссылку]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придёт к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.