Решаешь неравенство — и все равно ноль? Сейчас покажу, как надо.
Пример 1
Решите неравенство
Неравенство имеет следующий вид: дробь ≥ 0.
В этой дроби числитель отрицательный (- 13 < 0). Тогда чтобы дробь была неотрицательна (≥ 0, как того требует неравенство), нужно, чтобы её знаменатель был отрицательным.
Поясню подробнее. По сути есть всего два случая.
- Если числитель отрицателен и знаменатель отрицателен, то "-" на "-" даёт "+" и дробь неотрицательная (≥ 0).
- Если числитель отрицателен, знаменатель положителен, то "-" на "+" даёт "-" и дробь отрицательна (< 0).
Тогда получим: (x - 4)² - 6 < 0.
🔥 ВАЖНО! Знаменатель будет именно меньше ноля (<), а не меньше либо равен (≤), потому что знаменатель в дроби не может быть равен нулю, ведь на ноль делить нельзя.
Раскроем скобки: x² - 8x + 16 - 6 < 0.
Приведём подобные: x² - 8x + 10 < 0.
Приравняем к нулю, чтобы найти значения, которые будем отмечать на координатной прямой: x² - 8x + 10 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 8, c = 10. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 8)² - 4 * 1 * 10 = 64 - 40 = 24. Следовательно, √D = √24 = √(6 * 4) = 2√6.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (8 + 2√6) / 2 = 4 + √6.
x = (-b - √D) / 2a = (8 - 2√6) / 2 = 4 - √6.
Тогда x = 4 + √6, x = 4 - √6.
Отметим полученные значения на координатной прямой и получим три интервала:
- (- ∞; 4 - √6)
- (4 - √6; 4 + √6)
- (4 + √6; + ∞)
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Для этого возьмём любое значение с интервала и подставим его в неравенство.
- (- ∞; 4 - √6): x = 0 => (0 - 4)² - 6 = 16 - 6 = 10. Положительное число, то есть знак "+".
- (4 - √6; 4 + √6): x = 4 => (4 - 4)² - 6 = 0 - 6 = - 6. Отрицательное число, то есть знак "-".
- (4 + √6; + ∞): x = 10 => (10- 4)² - 6 = 36 - 6 = 30. Положительное число, то есть знак "+".
Неравенство имеет вид: (x - 4)² - 6 < 0. Следовательно, нам нужно ответы со знаком "-" (потому что они < 0).
Ответ: x ∈ (4 - √6; 4 + √6).
Пример 2
Решите неравенство
Неравенство имеет следующий вид: дробь ≥ 0.
В этой дроби числитель отрицательный (- 16 < 0). Тогда чтобы дробь была неотрицательна (≥ 0, как того требует неравенство), нужно, чтобы её знаменатель был отрицательным.
Тогда получим: (x + 2)² - 5 < 0.
🔥 ВАЖНО! Знаменатель будет именно меньше ноля (<), а не меньше либо равен (≤), потому что знаменатель в дроби не может быть равен нулю, ведь на ноль делить нельзя.
Раскроем скобки: x² + 4x + 4 - 5 < 0.
Приведём подобные: x² + 4x - 1 < 0.
Приравняем к нулю, чтобы найти значения, которые будем отмечать на координатной прямой: x² + 4x - 1 = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 4, c = - 1. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (- 1) = 16 + 4 = 20. Следовательно, √D = √20 = √(5 * 4) = 2√5.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (-4 + 2√5) / 2 = - 2 + √5.
x = (-b - √D) / 2a = (-4 - 2√5) / 2 = - 2 - √5.
Тогда x = -2 + √5, x = - 2 - √5.
Отметим полученные значения на координатной прямой и получим три интервала:
- (- ∞; - 2 - √5)
- (- 2 - √5; - 2 + √5)
- (- 2 + √5; + ∞)
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Для этого возьмём любое значение с интервала и подставим его в неравенство.
- (- ∞; - 2 - √5): x = - 6 => (- 6 + 2)² - 5 = 16 - 5 = 11. Положительное число, то есть знак "+".
- (- 2 - √5; - 2 + √5): x = -2 => (- 2 + 2)² - 5 = 0 - 5 = - 5. Отрицательное число, то есть знак "-".
- (- 2 + √5; + ∞): x = 6 => (6 + 2)² - 5 = 64 - 5 = 59. Положительное число, то есть знак "+".
Неравенство имеет вид: (x + 2)² - 5 < 0. Следовательно, нам нужно ответы со знаком "-" (потому что они < 0).
Ответ: x ∈ (- 2 - √5; - 2 + √5).
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Проанализировать неравенство, чтобы определить, какой должен быть знаменатель (< 0 или ≥ 0).
- Представить знаменатель в виде неравенства (знаменатель ≥ 0 или знаменатель < 0).
- Получить уравнение, приравняв знаменатель к нулю и решить его (таким образом найдём значения, которые будем отмечать на координатной прямой).
- Отметить полученные корни на координатной прямой.
- Проверить знаки на каждом полученном интервале, беря любой x, принадлежащий интервалу, и подставляя его в уравнение.
- Определить подходящие для ответа интервалы (если знаменатель ≥ 0, то это интервалы со знаком "+"; если же знаменатель < 0, то это интервалы со знаком "-").
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
Ты чаще ошибаешься в том, куда ставить знак (строгий/нестрогий) или в том, что забываешь исключить ноль знаменателя?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
📌 Хочешь сразу все типы задания 20?
Мы готовимся к ОГЭ системно — по плану вторая часть будет ближе к маю.
Но если не терпится разобрать уравнения уже сейчас, я собрала все статьи в одной подборке:
👉 Вторая часть: задание 20 (все типы уравнений) - здесь.
Там и новые типы, и сложные случаи, и разборы с лайфхаками.
Забирай, пока готовишься 🔥
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — задание 21.
👉 Разбор всех типов, ошибок и тренажёр - [выйдет к концу апреля: сразу добавлю ссылку]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придёт к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.