Метод предложен Габриэлем Крамером в 1750 году. Метод используется в экономике для оптимального распределения ресурсов.
Способ удобен для решения линейных систем уравнений с тремя переменными. Для степенных уравнений он не подходит.
Система уравнений имеет вид:
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x2+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3,
где a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 коэффициенты
x1, x2, x3 неизвестные
b1, b2, b3 свободные члены
Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такое множество значений неизвестных х1...xn, при которых каждое уравнение системы обращается в тождество (1).
Главный определитель (Δ) системы составляется из коэффициентов при неизвестных данной системы. Если он не равен 0, система имеет единственное решение. В противном случае система не имеет решений.
Схема расчёта определителя называется правилом треугольников (см. рисунок)
Последовательность расчёта главного определителя
Шаг 1
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Перемножаем a11*a 22*a33
Шаг 2
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Перемножаем a31*a12*a23
Шаг 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Умножаем a21*a32*a13
Шаг 4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Умножаем a31*a22*a13
Шаг 5
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Умножаем a11*a23*a32
Шаг 6
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Умножаем а21*а12*а33
Шаг 7
Последовательно подставляем получившиеся произведения в формулу и вычисляем значения определителя
Δ=((a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32) - ((a13*a22*a31)+(a11*a23*a32)+(a21*a12*a33)
Прочие определители получаются путём последовательной замены столбца коэффициентов столбцом свободных членов.
Например, Δ1. Заменяем первый столбец столбцом свободных членов. Получим матрицу
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
Вычисляем значение определителей по правилу треугольников. С Δ2 и Δ3 поступаем аналогично.
Далее находим значение неизвестных по формулам
x1 =Δ1/Δ
x2=Δ2/Δ
x3=Δ3/Δ
Пример 1
3x1 + x2 + 2x3 = 2
3x1 + x2 + 2x3 = 3
x1 + x2 + x3 =1
Для экономии времени лучше сразу проверить главный определитель в Excel с помощью функции МОПРЕД.
Δ=(3*1*1+1*1*2+2*2*1)-(2*1*1+2*3*1+2*1*1) = 8-9 =-1. Δ не равен 0, значит система имеет единственное решение. Значит имеет смысл решать дальше вручную :)
Составим матрицу коэффициентов для расчёта главного определителя
Составим матрицу коэффициентов с заменой первого столбца столбцом свободных членов. И вычислим значение Δ1 = (2*1*1+1*2*1+3*3*1)-(3*1*1+3*1*1+2*2*1) =13-10=3
Составим матрицу коэффициентов с заменой второго столбца столбцом свободных членов. Вычислим значение Δ2 = (3*3*1+2*2*1+2*1*3)-(3*3*1+2*2*1+1*2*3)=19-19=0
Составим матрицу коэффициентов с заменой второго столбца столбцом свободных членов. Рассчитаем значение Δ3 = (3*1*1+2*2*1+1*3*1)-(2*1*1+1*3*3+2*1*1)=10-13=-3
Найдём значение неизвестных
x1 =Δ1/Δ =3/-1=-3
x2=Δ2/Δ =0/-1=0
x3=Δ3/Δ =-3/-1=3