Предлагаю желающим освежить свои знания и умения в элементарной планиметрии. Для чтения статьи достаточно школьных знаний по математике. В одном месте смешиваются методы геометрии и алгебры, что для некоторых может оказаться новостью.
Откуда есть пошло наше обсуждение
Основой для наших упражнений послужила статья
Там обсуждается задача
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 10, к которой проведена высота из вершины прямого угла длиной 6. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника.
Засада в том, что такой прямоугольный треугольник не существует. Рекомендую прямо сейчас познакомиться с тем, как Автор статьи это доказывает.
Это хорошая задача для выявления учеников, склонных к научной деятельности. Такие должны не применять тупо формулу, а исследовать объект, вполне ли он определён условиями задачи.
Я предлагаю альтернативные варианты доказательства и решение окололежащих задач.
В комментарии к статье лучше не заходить. Потому что там тако-ое! С некоторыми перлами из комментов я вас познакомлю.
Откровенную тупость и глупость, вроде
обсуждать не буду. А вот более интересное:
... и так далее.
Здесь ярко проявляется дефект культуры мышления. Если я знаю один прямоугольный треугольник с гипотенузой 10, то других с такой же гипотенузой не может быть. А удовлетворяет ли он условиям задачи, вообще не обсуждается.
Больше всего поражает апломб, с которым комментаторы, не получив должного образования в школе, лезут поучать Автора и читателей. И с которым они говорят и будут говорить своим детям: "А, это такая х-ня, которая мне в жизни ни разу не понадобилась. И тебе не понадобится. Забудь об этом!"
Попутно хочу указать статью, которая вопрос о пользе школьного образования трактует намного шире:
Поневоле приходится вмешаться:
А дальше мы видим, что по мнению комментатора сторона треугольника не может измеряться дробным числом. Вот такое школьное математическое образование.
Так что вывод:
Переходим, наконец, к геометрии.
Вычисляем высоту
В связи с вышеизложенным возникает задача: Дан прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 (значит, гипотенуза равна 10; в популярной литературе такой треугольник называют египетским). Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу.
Во-первых, эта формула никак не поможет при анализе исходной задачи. Высота в задаче дана, её не требуется вычислять.
Во-вторых, я её просто не помню.
А в-третьих, я поэтому заявляю, что её и не надо помнить.
Потому что решить задачу можно и не зная эту формулу.
Смотрим на чертёж:
Здесь 3 пары подобных треугольников (по попарно равным углам) и, соответственно, можно выписать 9 пропорций. Надо сделать правильный выбор.
В △ABC известны все стороны. Берем его. Второй треугольник должен содержать в качестве сторон искомую высоту CH и один из известных отрезков. Получаем
△ABC ∽ △CBH.
Составляем пропорцию: отношение гипотенуз равно отношению длинных катетов:
AB / CB = AC / CH.
Отсюда CH = CB ⋅ AC / AB. Подставим данные: CB = 6 ⋅ 8 / 10 = 4,8.
Другой способ. Отложим катеты 8 и 6 от начала координат по осям:
A(8, 0), B(0, 6).
Вершиной прямого угла будет служить начало координат O(0, 0).
Тогда гипотенуза AB лежит на прямой с уравнением y = kx + b.
Точка B дает значение b: при x = 0 получаем y = b = 6. Чтобы получить k, подставим координаты точки A: 0 = k ⋅ 8 + 6 ⇒ k = −3/4.
Итак, уравнение гипотенузы
y = −3/4 ⋅ x + 6.
Опустим высоту OH на гипотенузу. Уравнение высоты y = kx (так как прямая проходит через начало координат, то b = 0). Коэффициент k определяется из того, что при увеличении x на 3 значение y возрастает на 4. Это легче всего увидеть на клетчатой бумаге. Таким образом, уравнение высоты OH:
y = 4/3 ⋅ x.
Координаты точки H найдём, решив систему из двух уравнений прямых, пересекающихся в данной точке. Подставив y из второго уравнения в первое, получаем:
4/3 ⋅ x = −3/4 ⋅ x + 6; 25/12 ⋅ x = 6; x = 72/25 = 2,88. Теперь получаем
y = 4/3 ⋅ x = 4/3 ⋅ 72/25 = 96/25.
Расстояние от начала координат до точки H(72/25, 96/25) равно
√((72/25)² + (96/25)²) = 24/25 ⋅ √(3² + 4²) = 24/5 = 4,8.
Результат такой же, как в прошлый раз. Неожиданно, правда?
Вывод: Высота в рассмотренном египетском треугольнике равна 4,8 и поэтому не удовлетворяет условию задачи. Любое вычисление площади, основанное на предположении, что катеты равны 8 и 6, не является решением задачи.
Оценка возможных значений высоты
У Автора показано, что в действительности никакой прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 не удовлетворяет условию задачи. Что высота не может быть больше 5.
(Если же взять треугольник не прямоугольный, но с высотой 6, как это предлагали некоторые комментаторы, то такой треугольник, в свою очередь, не удовлетворяет условию задачи, так как не прямоугольный.)
Я здесь предлагаю другое доказательство этого утверждения.
Построим на гипотенузе AB окружность, как на диаметре. Из школьного курса известно, что вершина C находится на окружности тогда и только тогда, когда ∠С прямой. Разумеется, если точка C не совпадает с A или B.
Прямо над центром O находится точка D окружности. Это самая верхняя из всех точек окружности. Она удалена от диаметра AB на наибольшее возможное расстояние. Это расстояние |OD| является радиусом окружности и поэтому равно 5.
Для точки C расстояние до диаметра |HС| < |OD| = 5. С другой стороны, если поставить точку C в точку D, то высота, опущенная на гипотенузу, станет равной
|OD| = 5.
Другой способ: сравнить высоту |HС| с радиусом |OC| = 5. HС есть перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую AB, а OC — наклонная. Наклонная всегда больше перпендикуляра (по длине). (Это не новость для вас, если вы когда-либо задумывались над тем, что такое расстояние от точки до прямой. Можно сослаться на теорему Пифагора.)
Наклонная OC — это и есть та медиана, о которой идет речь у Автора.
Если же точку С выбирать на окружности достаточно близко к точке B, то можно получить сколь угодно малое значение высоты.
Таким образом, вывод: длина высоты, опущенной на гипотенузу размером 10, может принимать любое значение от 0 до 5, включая последнее.
Замечание. Я здесь немного слукавил. На вид, вроде бы, очевидно, что может получиться любое значение из указанного диапазона. Но чтобы доказать это, нужно ещё одно небольшое рассуждение. Оставляю его читателю.
Если тот факт, что D есть самая верхняя точка окружности, вызывает сомнение, то можно вписать окружность в квадрат так, чтобы его сторона LM ∥ AB:
Тогда D окажется точкой касания стороны LM к окружности, а сторона LM горизонтальна.
Замечание в сторону
Поиск "Задача, которой русские школьники" обнаружил не менее 10 совпадений только в титулах страниц. Включая также одну публикацию Автора от ЕМНИП 2022 года. Ввиду обычной для Автора манеры присваивать себе чужой контент можно предположить, что приведённое им решение тоже списано без указания источников.
Мои варианты решения возникли в моём сознании при чтении обсуждаемой статьи Автора. В воровстве контента, по крайней мере систематическом, я как будто не замечен.