Говорят, что когда русские иммигранты в США, столкнулись с этой задачей на американском ОГЭ, они долго говорили учителям и одноклассникам, что те решают её неправильно, но при этом не говорили почему именно. Американцы бесились, пытались понять, почему русские смеются над ними, но в конце концов сдались и попросили объяснить в чём же ошибка, признав свою тупость.
Разумеется, это лишь легенда, достойная выступления Михаила Задорнова. Но тем не менее задача крайне интересная, и я очень люблю давать её своим ученикам, чтобы проверить, насколько хорошо они знают геометрию.
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 10, к которой проведена высота из вершины прямого угла длинной 6. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника.
Вот вам рисунок для понимания.
Рекомендую пока не читать дальше, вспомнить формулу из средней школы и попытаться найти площадь треугольника самостоятельно.
Если у вас площадь треугольника получилась равной 30, то вы попались на крючок и рассуждаете точно так же, как американцы. У них тоже раз за разом получалось 30. Но это неправильный ответ. Можете ещё раз подумать, в чём ошибка, а ниже я приведу решение.
Решение
Разумеется, все из вас, кто получил, тридцать, искали площадь по формуле для площади треугольника как «половина основания умножить на высоту». Это правильная формула. И по ней, действительно, площадь треугольника получается равной 30, потому что S=(ah)/2 = 10•6/2 = 30.
Но, несмотря на то, что формула верная, данные верные, ответ всё равно неправильный.
А секрет тут в другом.
В 7 классе на уроке геометрии была теорема, которая говорила о том, что медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
Если провести эту медиану (красным) на нашем рисунке, внутри большого прямоугольного треугольника образуется ещё один прямоугольный треугольник (зелёный).
Гипотенузой этого прямоугольного треугольника является медина большого треугольника, которая равна половине от десяти, то есть пяти. Таким образом у этого зелёного треугольника гипотенуза равна 5, а один из катетов — 6. Такого быть не может, потому что гипотенуза всегда должна быть больше любого из катетов. То есть зелёный треугольник не может существовать. Но тогда не может существовать и изначальный большой треугольник. Не может у него высота равняться шести. Ну либо гипотенуза не может равняться десяти. Это уже не так важно, суть в том, что раз треугольника нет, то и площади у него быть не может, и задача не имеет решения.
Как вам? Хитро? Мы просто привыкли, что обычно в учебниках и на экзаменах нам дают "удобные" задачи, в которых всё подогнано, всё идеально делится друг на друга, получаются красивые ответы, поэтому нам и в голову не приходит проверять существование треугольника.
Кстати, как гласит легенда, в американском ОГЭ эта задача появилась не потому, что составители экзамена решили дать хитрую задачку, а потому что сами недосмотрели. И как только это выяснилось, они её сразу же убрали из экзамена.
Если задача понравилась, рекомендую посмотреть мои видеоуроки по алгебре и геометрии, в которых я очень подробно с большим количеством примеров рассказываю всё, что нужно знать. Ещё у меня есть курс по олимпиадным задачам, курс по подготовке к ОГЭ (рекомендую его особенно тем, у кого по математике 3 или 4) и другие уроки. В этом посте в Телеграме я отвечаю на самые частые вопросы, рассказываю, какие уроки есть, как их посмотреть и так далее.