Повседневные человеческие занятия — например, построить дом на холме у ручья, проложить сеть телефонных кабельных каналов или прокладывать маршруты в Солнечной системе — требуют планов, которые действительно работают. Планирование любого такого дела требует развития мышления о пространстве. Каждое такое развитие включает множество шагов рассуждения и множество связанных с ними геометрических построений на пространствах. Поскольку мышление о пространстве по необходимости многошагово, нужны особые математические меры, чтобы сделать его надёжным. Надёжность могут гарантировать только явные принципы мышления (логика) и явные принципы пространства (геометрия).
Большой прогресс, достигнутый теорией, созданной 60 лет назад Эйленбергом и Мак-Лейном, позволил сделать принципы логики и геометрии явными; это удалось благодаря обнаружению общей формы логики и геометрии, так что явными стали и принципы связи между ними. Они решили проблему, открытую 2300 лет назад Аристотелем, который сделал первые шаги к тому, чтобы явным образом сформулировать категории понятий. В XXI веке их решение применимо не только к планиметрии и средневековым силлогизмам, но и к бесконечномерным пространствам преобразований, к «пространствам» данных и к другим концептуальным инструментам, которые используются тысячи раз в день. Форму принципов и логики, и геометрии теоретики категорий обнаружили в том, что она опирается на «естественность» преобразований между пространствами и преобразований внутри мысли.
Уильям Ловер — американский математик, известный работами по теории категорий, теории топосов и философии математики
