В главе XXVIII Первой части романа Александра Дюма "Три мушкетера" описана игра в кости. Один из героев романа, друг гвардейца д'Артаньяна мушкетер Атос, наутро в состоянии жуткого похмелья играл в кости с англичанином и проиграл лошадей и подаренный королевой Франции Анной Австрийской д'Артаньяну алмазный перстень (касаться вопроса насколько нравственно играть на чужое имущество, даже не поставив в известность хозяина, не будем; другое время - другие нравы). Да и сам Дюма позднее, в главе V Второй части пишет, впрочем, по совсем уже иному поводу:
Неправильно было бы судить о поступках одной эпохи с точки зрения другой. То, что каждый порядочный человек счел бы для себя позорным в наши дни, казалось тогда простым и вполне естественным.
Однако у друзей оставались 2 богато украшенных лошадиных седла, после проигрыша вновь отыгранные Атосом, и Атос предложил своему другу испытать счастье, уверяя его, что мало игравшим новичкам всегда везет. Дальше извлечение из романа.
Надеемся, что правила игры в кости все знают. Вариантов игры много, но обычно играют в простейший вариант "Больше-Меньше": Выигрывает тот, кто выбросил наибольшую сумму очков на двух кубиках.
Эпизод игры описан в книге писательницы Натальи Карпушиной «Узнавай математику, читая классику», и в книге приведен обширный отрывок из романа Дюма, но нас огорчили сделанные выводы, что всего Атос бросал кости 36 раз, и 18 раз выигрывал и 18 раз проиграл. Предполагается, что Дюма также был знаком с теорией вероятности и знал, что если игра честная, то шансы выиграть и проиграть равны.
Но писательница совершенно не обратила внимания на высказывание Атоса, что подобный ход, когда выбрасывают 2 очка, он видел всего 4 раза за всю свою жизнь. Вот этот вопрос и разберем как можно более подробно, и возможно сможем ответить на вынесенный в заголовок нашей статьи вопрос - сколько раз в жизни Атосу довелось играть в кости (или наблюдать за чужой игрой). При этом в романе никаких указаний на этот счет не приводится.
Нас же должно заинтересовать другое, что "ход" с выпадением 2 очков Атос видел всего 4 раза, и точно припомнил все сопутствующие обстоятельства.
Давайте забудем все, чему нас учили, и как и положено современным людям, запросим Алису.
- Запрос: Алиса, каков шанс при игре в кости по варианту "Больше-Меньше" выбросить 2 очка?
Ответ: 1/36 — вероятность выпадения 2 очков при игре в кости, в том числе в варианте «Больше-Меньше», так как при бросании двух костей есть 36 возможных исходов, и два очка могут выпасть только одним способом — комбинацией (1,1).
Можно прибегнуть к формулам комбинаторики, позволяющим решить и более сложную задачу. Но пойдем, как поговаривали герои известного фильма, в обход. В жизни полезно зачастую переходить от дискретного распределения к непрерывному и наоборот.
Вспомним, что такое непрерывное прямоугольное (равномерное) распределение, и что сумма 2 таких распределений - это треугольное распределение, а 3 - колоколообразное. 4 и больше равномерных распределений в сумме дают уже распределение, мало отличимое от широко распространенного распределения Гаусса (нормального).
При бросании 6-гранного кубика имеем дискретное равномерное распределение, следовательно сумма выпавших очков дает треугольное распределение. Так нарисуем его, исходя из того, что в полной группе событий 1 очко выпасть не может, как и 13 (0 исходов), а 2 и 12 выпадают по 1 разу.
Тем самым задан наклон сторон треугольного распределения, наиболее вероятное событие находится на пересечении сторон. Это выпадение 7 очков, что может реализоваться 6 способами.
Подсчитаем общее число способов в полной группе событий:
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36. Поскольку 2 очка в полной группе встречаются лишь 1 раз, вероятность выпадения 2 очков равна 1/36. Достаточно странно, чтобы Атос, при его жизни аристократа и распространенности игры в кости, встречал такую комбинацию выпадения костей (на каждом из 2 кубиков по 1) всего 4 раза.
К сожалению, мы не владеем французским языком, возможно разгадка в оригинальном тексте романа. В переводе Атос называет "необыкновенным ходом" выпадение 2 очков, что, как мы установили выше, не является чрезмерно редким событием, и это наверняка знали и Атос и Дюма.
Но в другом месте Атос уговаривает д'Артаньяна рискнуть и сыграть, поставив на кон седла.
Англичанин со своим спутником еще здесь. Я заметил, что он очень сожалеет о седлах. Вы же, по-видимому, очень дорожите своей лошадью... На вашем месте я поставил бы седло против лошади.
— Но он не согласится играть на одно седло.
— Поставьте оба, черт побери! Я не такой себялюбец, как вы.
— Вы бы пошли на это? — нерешительно сказал д’Артаньян, помимо воли заражаясь его уверенностью.
— Клянусь честью, на один-единственный ход.
Из текста следует, что "ходом" назван уже не один бросок, а игра (каждый участник совершает по одному броску). Тогда Атоса удивило последовательное, в пределах одной игры, выпадение 3 очков (что радикально уменьшает шансы д'Артаньяна на выигрыш, до броска равные 1/2, до 1/36 после броска) с последующим выпадением 2 очков.
Общая вероятность этих 2 независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из этих событий, или (1/18)*(1/36)=1/648. Тем самым, исходя из наблюдения Атосом 4 случаев, когда за 3 очками (что повергает в уныние ввиду почти верного проигрыша) следуют выброшенные противником 2 очка, наиболее вероятное число сыгранных им игр в кости равно 4*648=2592. Что уже ближе к реальности, учитывая, что Атосу к моменту описываемых событий было около 30 лет, и играть в кости он мог наверняка десяток лет или больше. 10 лет - это 522 недели, по 50 игр в неделю. Как-то срастается.
Сам факт создания интриги вокруг игры в кости - обычное дело в литературном произведении. Перенесемся на 4 века (по другим данным, на всего на 2 века) раньше, в город Ходжент, где герой повести Л. В. Соловьева "Возмутитель спокойствия" Ходжа Насреддин играл в кости с неким Рыжим. (Глава 5).
Рыжий взял кости и долго тряс, не решаясь метнуть. ... Наконец он метнул. ... На костях было всего три очка - верный проигрыш, ибо
двойка выбрасывается так же редко, как и двенадцать, а все
остальное годилось Ходже Насреддину.
Встряхивая в кулаке кости, он мысленно благодарил судьбу,
столь благосклонную к нему в этот день. Но он позабыл, что
судьба своенравна и непостоянна и может с легкостью изменить,
если ей слишком надоедают. ... Ходжа Насреддин выбросил два очка.
И достойное завершение истории, с иным, но полностью симметричным вариантом.
Первым бросил кости рыжий и сразу зажмурился,-- он боялся взглянуть. - -- Одиннадцать! - закричали все хором. Ходжа Насреддин
понял, что погиб: спасти его могли только двенадцать.
Ходжа Насреддин, холодея, взял кости и уже приготовился их
метнуть, но вдруг остановился. ... Он взял в левую руку хвост ишака и ударил себя этим хвостом по правой руке, в которой были зажаты кости.
Всеобщий вопль потряс чайхану, а сам чайханщик схватился за сердце и в изнеможении опустился на пол. На костях было двенадцать очков.
На этом все. Подобные математические перлы рассыпаны по многим страницам классических произведений, имеет смысл при чтении иногда сделать передышку и осмыслить их.
Еще одна статья по произведению Дюма "Три мушкетера".