Гео́рг Фе́рдинанд Лю́двиг Фи́липп Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Карла Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств.
А я тут трясу стариной, вспоминаю молодость и перечитываю книгу
В 1 главе Математика с минимумом «сырого материала» на с. 13 находим:
Упомяну также, опять-таки без обсуждения, два открытия Кантора: (17) несчётность континуума и (18) тот факт, что точки линии и точки квадрата образуют «эквивалентные множества», т. е. они могут быть соединены в пары, иначе говоря, что между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (КР, с. 134).
Вот такой неожиданный для непосвящённого факт. Впрочем, и для математиков до Кантора тоже. Причем его доказательство удивительно по простоте и очевидности (для современного математика).
"Точки линии" — это на совести переводчика. Английское line означает прямую.
КР — так автор ссылается на книгу
Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика?
Но номера страниц могут не соответствовать. Так, "несчётность континуума" в указанном издании доказывается на с.с. 108–110. Доказательство же факта (18) я сразу не нашёл и поленился искать пристально. И это не беда, так как я намерен привести его сейчас.
В квадрате (включающем его границу) введём систему координат Oxy. Начало координат поместим в вершину квадрата, оси направим вдоль его сторон, а за единицу возьмём сторону квадрата. Тогда каждая точка квадрата описывается парой чисел x, y так, что
0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1.
И обратно, из полученной пары чисел однозначно восстанавливается та же точка квадрата, с которой всё начиналось. Это называется взаимно однозначным соответствием между точками квадрата и описанным множеством пар чисел.
Аналогично, множество точек отрезка (включающего его концы) ставится во взаимно однозначное соответствие с числами t, удовлетворяющими условию
0 ≤ t ≤ 1.
Таким образом, нам надо установить взаимно однозначное соответствие между множеством пар чисел
(x, y), 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1,
и множеством чисел
t, 0 ≤ t ≤ 1.
Каждое число от 0 до 1 запишем в виде бесконечной десятичной дроби. Для этого
- если число записывается конечной десятичной дробью, то допишем бесконечную последовательность нулей; за исключением
- числа 1 = 0,999999... (бесконечная последовательность девяток. Обрезав её в подходящем месте, получим число, сколь угодно мало отличающееся от 1. Поэтому вся бесконечная дробь представляет число 1).
Теперь значение t получим из (x, y) следующим образом. Если
x = 0,x₁x₂x₃x₄x₅x₆...,
где x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆...суть цифры, и
y = 0,y₁y₂y₃y₄y₅y₆...,
то положим
t = 0,x₁y₁x₂y₂x₃y₃x₄y₄x₅y₅x₆y₆...
То есть цифры чисел x и y запишем в t поочерёдно.
Обратно, если
t = 0,t₁t₂t₃t₄t₅t₆...,
то
x = 0,t₁t₃t₅...
и
y = 0,t₂t₄t₆...
Иначе говоря, цифры числа t, стоящие на нечётных местах, перепишем в x, а на чётных — в y. Нетрудно видеть, что если t получено из (x, y) описанным выше способом, то каждая цифра числа t вернётся на свое исходное место.
Например, пятая цифра числа x встанет в числе t на девятое место. А девятая цифра числа t окажется в x на пятом месте.
Следовательно, в квадрате «столько же точек», что и на отрезке. Математики, чтобы не писать кавычки, говорят, что эти два множества имеют одинаковую мощность.
PS для более искушённых. Что удивительно, построенное отображение квадрата на отрезок является непрерывным. Может ли кто-то представить график такого отображения?
Не всё так просто, как хотелось
С подачи комментатора Eugene Hrulev (респект!) в приведённом "доказательстве" обнаружилась прореха. Дело в том, что не каждое значение t может быть получено указанным способом. Например, значение
t = 0,119191919191...
влечёт
x = 0,1999999...,
а такое представление запрещено для координаты x. Так что точки квадрата ставятся во взаимно однозначное соответствие не со всем отрезком, а только с частью его. Дальше надо применять теорему Кантора – Бернштейна. Можно предположить, что Кантор привёл её как часть доказательства обсуждаемого результата.
Доказательство
эквивалентности множества полученных из квадрата точек и всего отрезка.
Доказательство теоремы Кантора – Бернштейна можно адаптировать к рассматриваемой ситуации. То есть вместо доказательства в сáмом общем случае выписать, что получится, если излагать его в рассматриваемом частном случае.
При этом придётся потратить намного больше знаков и букв, чем там по ссылке. Мы здесь теряем преимущество математической нотации в краткости и ёмкости "текста".
Представленное далее изложение требует бóльших усилий для понимания, чем первая часть. Но если вы когда-то работали с последовательностями и фразы "начиная с некоторого места" и "как угодно далеко" не вызывают у вас отторжения, можете смело читать дальше.
Назовём хорошими те числа из отрезка [0, 1], которые могут получиться из точек квадрата при описанном преобразовании. Хорошие числа могут быть преобразованы в точки квадрата. Остальные числа будем называть нехорошими. Нехорошие числа это те, у которых в десятичной записи начиная с некоторого места на всех чётных или на всех нечётных местах стоят девятки; за одним исключением: число 1, записываемое в виде 0,999999..., будем считать хорошим.
Построим вот какую операцию: между соседними десятичными цифрами числа
t = 0,t₁t₂t₃t₄t₅t₆...
вставим по одному нулю:
Z(t) = 0,t₁0t₂0t₃0t₄0t₅0t₆0...
Каждое число таким образом преобразуется в хорошее. Проверки требует только преобразование нехорошего числа. Что ж, в нехорошем числе как угодно далеко имеются группы цифр вида 9n9, где n отлично от девятки. Эти группы преобразуются в 90n09, и мы видим, что на позиции одинаковой с чётности с позицией девятки появляется недевятка. Так как это происходит как угодно далеко в последовательности цифр, то результат является хорошим числом.
Очевидно, эту операцию можно обратить: из цифр числа
0,t₁0t₂0t₃0t₄0t₅0t₆0...
надо просто удалить все нули, стоящие на чётных местах.
Обозначим множество нехороших чисел через N₀. Множество N₁ пусть получается из N₀ преобразованием Z:
N₁ = Z(N₀).
Это числа вида
0,t₁0t₂0t₃0t₄0t₅0t₆0...
Если снова подействовать преобразованием Z, то получим множество N₂ вида
0,t₁000t₂000t₃000t₄000t₅000t₆000...
(по 3 нуля подряд). Следующее множество N₃ состоит из чисел, имеющих в десятичной записи по минимум 7 нулей подряд. И так далее (до бесконечности).
Объединение всех построенных N_n обозначим N. Нам в дальнейшем понадобится то обстоятельство, что преобразование Z переводит N в само N.
Отображение H построим следующим образом: если t принадлежит множеству N, то
H(t) = Z(t);
в противном случае пусть
H(t) = t.
Для любого t, 0 ≤ t ≤ 1, число H(t) оказывается хорошим.
1. Покажем, что каждое хорошее число может быть получено таким образом. Z(N) есть множество всех чисел, получаемых преобразованием Z из чисел множества N.
Предположим, что хорошее значение s не лежит в Z(N). Так как s хорошее, то не лежит в N₀. Все остальные N_n не содержат s, потому что множества
N_n = Z(N_{n − 1})
входят в Z(N). Поэтому s не входит в множество N. По определению отображения H имеем
s = H(s).
Если же число s из Z(N), то оно имеет в N прообраз t такой, что s = Z(t). Тогда
s = H(t)
в силу определения H.
2. Чтобы получить взаимно однозначное соответствие множества хороших чисел и всего отрезка, осталось показать, что никакие два значения t из отрезка [0, 1] не переводятся отображением H в одну и ту же точку s.
Так как Z — обратимое преобразование, то для t₁ и t₂ из N при условии
s = H(t₁) = H(t₂) [= Z(t₁) = Z(t₂)]
возможно только t₁ = t₂ (они оба получаются из одного значения s обратным преобразованием: удалением нулей с чётных позиций).
Если t₁ и t₂ оба не принадлежат N, то H(t₁) = t₁ и H(t₂) = t₂; при условии
H(t₁) = H(t₂) получаем t₁ = t₂.
Если же t₁ из N, а t₂ не принадлежит N, то H(t₁) = Z(t₁), а H(t₂) = t₂. Если
H(t₁) = H(t₂),
то t₂ = Z(t₁) и принадлежит N; это противоречие показывает, что равенство H(t₁) = H(t₂) невозможно.
Замечание 1. В этом последнем абзаце можно себе представить, что последовательности цифр чисел H(t₁) и H(t₂) должны быть устроены по разному; поэтому равенство H(t₁) = H(t₂) невозможно.
Замечание 2. Можно иначе определить отображение Z:
Z(0,t₁t₂t₃t₄t₅t₆...) = 0,t₁t₁t₂t₂t₃t₃t₄t₄t₅t₅t₆t₆...
Читатель хорошо понял предлагаемое доказательство, если сможет по образу и подобию построить доказательство и с таким Z. С другой стороны, для кого-то такой вариант может оказаться более понятным.
Итак, отображение H отображает отрезок [0, 1] на всё множество хороших чисел, причём разные точки переводятся в разные же. Следовательно, H осуществляет взаимно однозначное соответствие между этими множествами; множества равномощны.
.
Мои старые мозги с трудом разобрались с основной идеей доказательства теоремы Кантора – Бернштейна. Квалификация совсем уже не та... Вот почему я уже не действующий математик.
Графическая иллюстрация идеи доказательства
приведена на следующем рисунке:
Весь разноцветный прямоугольник изображает отрезок [0, 1]. То, что это не отрезок, не имеет значения: взаимное расположение точек не играет в доказательстве никакой роли.
Множество нехороших чисел изображено самой правой трапецией бледно-зелёного цвета — это N₀. Операция Z в этой картинке осуществляется гомотетией с коэффициентом 0,9 (равномерным сжатием) к вершине разнозелёного треугольника (который представляет множество N). Трапеция N₀ нехороших чисел такой гомотетией преобразуется во вторую справа (уже хорошую) трапецию N₁. А та, в свою очередь, — в третью справа (N₂), и так далее. Как хорошо известно, гомотетия — обратимое преобразование.
Z(N) в таком случае оказывается той частью N, которая состоит из хороших точек: вся бесконечная последовательность трапеций начиная с N₁ (а не с N₀).
Операция H строится так: жёлтые точки остаются на месте (тоже, очевидно, обратимая операция). А точки всех оттенков зелёного подвергаются описанной гомотетии. В результате прямоугольник взаимно однозначно отображается на множество хороших точек (прямоугольник минус самая правая зелёная трапеция. Иначе: жёлтый "вымпел" плюс все трапеции, кроме нехорошей).