....................................................."Даром дадено, даром давайте", - Исус Христос.
Версия 2025.12.11, исправленная и дополненная.
Локальные кубические сплайны проще глобальных, но глобальные точнее.
Глобальный кубический сплайн - это многоряд (мультимногочлен, многополином, мультиполином) Тэйлора из множества рядов Тэйлора [1], усечённых до третьей степени.
Ряд Тэйлора [1], усечённый до третьей степени (до четырёх членов):
Коэффициенты a_i, b_i, c_i и d_i:
Глобальный кубический сплайн в виде многоряда Тэйлора третьей степени [3][4]:
Формулы для составления системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в виде трёхдиагональной матрицы:
где M_i - вторые производные. Вторые производные находятся решением трёхдиагональной СЛАУ методом прогонки Томаса [5].
После нахождения вторых производных можно делать интерполяцию по формуле из справочника Дьяконова [2.§П5.11]:
Для интерполяции по формуле в виде многоряда Тэйлора, усечённого до третьей степени, нужно найти коэффициенты a_i, b_i, c_i и d_i по формулам [3. Гл.II.(18)]:
После нахождения коэффициентов a_i, b_i, c_i и d_i можно делать интерполяцию по формуле кубического сплайна в виде многоряда Тэйлора, усечённого до третьей степени.
1. Программы CUBSPL.BAS и CUBSPLG.BAS на Borland Turbo Basic
Рис.1. Снимок с экрана результата прогона программы CUBSPL.BAS с контрольным примером "парабола" (y=x^2) в компиляторе Borland Turbo Basic (результат совпадает с результатом глобального кубического сплайна из справочника Дьяконова).
Рис.2. Снимок с экрана результата прогона программы CUBSPLG.BAS с контрольным примером "парабола" (y=x^2) в компиляторе Borland Turbo Basic (одно деление по вертикали равно 4). Крупными кружками - входные узлы, мелкими - интерполированные значения сплайна.
Программа CUBSPL.BAS на Borland Turbo Basic с краевыми условиями для "натурального" ("естественного") сплайна.
Программа работает, как с равно отстоящими отсчётами, так и с не равно отстоящими отсчётами по оси абцисс x.
2. Программы CUBSPL2.BAS и CUBSPL2G.BAS на Borland Turbo Basic
Версия программы CUBSPL.BAS с краевыми условиями для "clamped spline".
Рис.3. Снимок с экрана результата прогона программы CUBSPL2.BAS с контрольным примером "парабола" (y=x^2) в компиляторе Borland Turbo Basic (результат более точный, чем результат глобального кубического сплайна из справочника Дьяконова).
В графическом варианте (CUBSPL2G.BAS) разница почти незаметна, а в числовом: вторая производная для y=x строго равна 0, для y=x^2 строго равна 2, а для y=x^3 строго равна 6*x.
Литература:
1. Ряд Тэйлора. Определение. Википедия.
2. Д ь я к о н о в В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 240 с. — ISBN 5-02-014530-0. Файл: diakonovvp8.djvu
3. Сплайны в вычислительной математике. С т е ч к и н С. Б., С у б б о
т и н Ю. Н., Главная редакция физико-математической литературы
издательства "Наука", М., 1976, 248 стр. https://disk.yandex.ru/d/agvjylaKKUo3Zg
4. Кубический сплайн. Википедия.
5. Решение трёхдиагональных СЛАУ методом прогонки Томаса. Куликов А. С. Дзен.
Приложения:
1. Программа CUBSPL.BAS
2. Программа CUBSPLG.BAS
3. Программа CUBSPL2.BAS
4. Программа CUBSPL2G.BAS
5. Borland Turbo Basic, архив TB.rar
6. Borland Turbo Basic, руководство TBASIC.TXT