............................................."Даром дадено, даром давайте", - Исус Христос.
Версия 2026.05.04, исправленная и дополненная.
При вычислении глобальных кубических сплайнов [3] и в других задачах возникает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трёхдиагональной матрицей.
СЛАУ с трёхдиагональной матрицей выгоднее решать не традиционным методом Гаусса, а его разновидностью для СЛАУ с трёхдиагональной матрицей - методом прогонки ("shattle"), который в англоязычной литературе называется алгоритмом Томаса [1][2] (1949г. [3]). Метод Гаусса требует O(n^3) арифметических операций, а алгоритм Томаса - O(n).
Программы с алгоритмом Томаса имеют две разновидности: с сохранением и без сохранения исходных значений СЛАУ. Сам же алгоритм Томаса в обоих случаях одинаковый. Обе разновидности программ подробно описаны в статье [1]. В данной статье рассматривается разновидность программы с алгоритмом Томаса без сохранения исходных значений СЛАУ (an algorithm with less bookkeeping [1]).
Так как Basic знают почти все, программа, реализующая алгоритм прогонки Томаса, была написана на Borland Turbo Basic'е, которого вполне достаточно для изучения, исследования и разработки усовершенствований многих числовых методов.
Преобразование входных векторов в исходную присоединённую матрицу СЛАУ (AM|f), её преобразование в правую верхнюю (Right-Upper) треугольную присоединённую матрицу СЛАУ (AM'|f') и их вывод на экран сделаны только для иллюстрации, а все вычисления в методе прогонки Томаса производятся только с векторами.
Программа имеет две версии: с индексацией векторов от 1 до N (THOMASRU.BAS) и с индексацией векторов от 0 до N-1 (THOMRUZ.BAS).
1. Программа THOMASRU.BAS на Borland TurboBasic'е
с индексацией векторов от 1 до N:
Рис.1. Снимок с экрана результата прогонки программы THOMASRU.BAS в компиляторе Borland TurboBasic.
Учебное наглядное пособие THOMRUDE.EXE (исходник: THOMRUDE.BAS) для изучающих решение трёхдиагональных СЛАУ методом прогонки Томаса Right-Upper, показывающее последовательность вычислений:
2. Программа THOMRUZ.BAS на Borland TurboBasic'е
с индексацией векторов от 0 до N-1:
Рис.2. Снимок с экрана результата прогонки программы THOMRUZ.BAS в компиляторе Borland TurboBasic.
Учебное наглядное пособие THOMRUZD.EXE (исходник: THOMRUZD.BAS) для изучающих решение трёхдиагональных СЛАУ методом прогонки Томаса Right-Upper, показывающее последовательность вычислений:
Литература:
1. Tridiagonal matrix algorithm. Wikipedia.
3. Глобальный кубический сплайн, программа на Borland TurboBasic'е. Куликов А. С. - М.: Дзен.
4. Численные методы решения краевых задач. Максютов М.С. - М.:МГГЭУ, 2014.
5. Метод прогонки: решение СЛАУ с трёхдиагональной матрицей.
6. Решение трёхдиагональных СЛАУ упрощённым методом прогонки Томаса. Куликов А. С. - М.: Дзен, 2026.
Приложения:
1. Скачать файл с текстом программы THOMASRU.BAS
2. Скачать файл с текстом пограммы THOMRUZ.BAS
3. Скачать файл с Borland Turbo Basic'ом TB.EXE
4. Скачать файл с руководством по Borland Turbo Basic'у BASIC.TXT
5. Скачать файл с архивом Power Basic'а pb.zip