Наши постоянные читатели уже были свидетелями того, как лунный заговор одержал победу над профессиональным математиком Михаилом Коробковым (но не над наукой). И вот, заглянув в очередной раз на канал киноэкстрасенса Коновалова, мы обнаружили, что эта победа не была последней. Знакомьтесь: Максим Рогоза, представленный как бывший работник Института прикладной математики им. Келдыша, ученик знаменитого ученика ещё более знаменитого математика Колмогорова (академический внук, если можно так выразиться). Пословица «на детях гениев природа отдыхает» ничего не говорит о внуках, тем более об академических, поэтому все совпадения могут быть случайными. Что же совершил Максим Рогоза? Да примерно то же, что Михаил Коробков: он опроверг материалы миссий «Аполлон» математически. Вернее, заявил об этом — а также о том, что сумел убедить в своей победе аж две нейросети:
Мы не стали бы обращать внимание на подвиги Максима: лунный заговор одержал уже не одну победу над людьми с академическим прошлым и настоящим (и мы уже не раз о том писали). Но Максим не был первым автором именно этого «разоблачения», поэтому мы решили уделить им («разоблачению» и Максиму) немного внимания.
Essentia revelationis
Рогоза обращает внимание на то, что в последних трёх экспедициях высадки производились не слишком близко к лунному экватору (на широте почти до 30º) и лунные модули (ЛМ) оставались на поверхности около трёх суток. За это время Луна поворачивалась вокруг своей оси примерно на 40º. Для успешной стыковки с орбитальным кораблём (командно-служебным модулем, КСМ) взлётная ступень лунного модуля должна был стартовать, находясь практически в плоскости орбиты КСМ. На этом достоверное изложение событий заканчивается, и начинается фантасмагория.
- Рогоза решает, будто для совмещения орбит КСМ должен изменить плоскость своей орбиты на те самые ~40º. При этом он апеллирует к долготе восходящего узла — как если бы ЛМ вообще не садился, а Луна «подхватила» его орбиту и повернула за трое суток на те самые 40º по долготе! Мы скоро увидим, насколько ошибочна его идея и насколько надумана сама проблема.
- Рогоза справедливо (пожалуй, в последний раз) замечает
Поворот плоскости орбиты на 40 градусов — это катастрофически дорогой манёвр с точки зрения топлива.
И тут же для решения несуществующей пробемы Рогоза приписывает инженерам НАСА физически невозможное решение:
Инженеры NASA придумали элегантный выход: использовать естественную прецессию орбиты.
Как он догадался, что инженеры НАСА придумали именно это? Загадка. Но мы скоро увидим также, что такое решение не могло работать, и вовсе не по причинам, о которых пишет дальше Рогоза.
- Дальнейшее рассуждение Максима делится на две ветки. Первая — та, что наклонения орбит в разных миссиях было различным, поэтому скорость прецессии орбиты тоже должна быть различной. Но величина долготного сдвига ЛМ была примерно одинаковой (соответствовала трём суткам). Максим приходит к выводу, что прецессия не смогла бы повернуть орбиту КСМ на 40º во всех трёх последних миссиях. Вторая ветка — та, что данные о гравитационном поле Луны были неточны, неточность оценки прецессии могла составить 4º, и на компенсацию этой погрешности КСМ не хватило бы 500 кг топлива.
(На самом деле достаточные запасы топлива на борту КСМ были, о чём можно прочесть на другом канале: Рогоза пошёл точно по следам других российских ракетчиков и не смог правильно осмыслить документы миссий. Но мы любим академических конспирологов не за неумение читать, а за неумение считать; именно с этой стороны мы и приглядимся к труду Рогозы.)
Орбита-орбита, повернись к Рогозе задом
Как мы уже упоминали, Рогоза не был первым, кто счёл, будто долготный сдвиг ЛМ на ~40º требует поворота орбиты КСМ (или ЛМ) на ту же величину. Но впервые мы услышали это от человека, который пишет о себе следующее:
Меня, как специалиста в области космической баллистики и программирования бортовых систем, больше всего интересовал технический аспект — орбитальная механика, навигация, стыковки.
Послушаем специалиста в области космической баллистики Рогозу:
...если командный модуль просто ждёт на орбите, к моменту взлёта лунного модуля их орбиты будут разведены на эти самые 40 градусов по долготе восходящего узла (ДВУ)
Специалиста в области космической баллистики не смущает, что к моменту взлёта лунного модуля у последнего вообще нет никакой орбиты, а с ней и долготы восходящего узла? При этом он помнит, что при посадке на экватор разницы в ДВУ нет:
У первых миссий решение было простым: они выполняли полёты и посадки строго над лунным экватором (наклонение 0°). В этом случае не было разницы в ДВУ, и встреча была простой.
Как же так, Луна вращается, а разницы в ДВУ нет? Ну конечно, ЛМ движется вдоль экватора и всё время остаётся под орбитой КСМ. Так что, разность в ДВУ появляется, когда посадка происходит не на экваторе? Но пусть теперь ЛМ сядет на полюсе. Появится ли разность в ДВУ? Нет, не появится: при вращении Луны ЛМ даже не сдвинется с места и всегда будет оставаться в плоскости орбиты КСМ!
Выходит, разница в ДВУ появляется при промежуточных широтах посадки? Верно. Но давайте теперь предположим, что наклонение орбиты равно 1º, и что ЛМ садится в самой северной точке траектории, то есть на широте в 1º. И пусть теперь пройдут не трое суток, а половина месяца: дадим Луне повернуться на все 180º!
Нужно ли теперь КСМ поворачивать свою орбиту на 180º градусов вслед за вращением Луны, чтобы ЛМ оказался снова в её плоскости? Разумеется, нет. Посмотрим на нисходящий узел орбиты — точку, где она пересекает экватор, переходя из северного полушария в южное. Эта точка находится прямо в центре Луны. Пролетая через неё, повернём орбиту КСМ на 2º, как показано на рисунке ниже.
Что мы видим? Теперь орбита КСМ проходит в точности над новым положением ЛМ — и это после поворота плоскости всего на 2º! Заметим кстати, что точка манёвра, которая была нисходящим узлом, превратилась в восходящий: теперь в этой точке КСМ переходит из южного полушария в северное. А значит, ДВУ изменилась на 180º, узлы поменялись местами!
Как же так? Мы изменили плоскость орбиты на жалкие 2º, а ДВУ изменилась на противоположную. Как такое возможно? А вот так! Разность долгот восходящего узла и угол между плоскостями орбит — это совершенно разные углы. Это очевидно уже из того, что для изменения угла между плоскостями орбиты следует поворачивать вокруг линии их пересечения — взаимной линии узлов; а для изменения ДВУ плоскость орбиты поворачивается вокруг оси планеты, которая обычно даже не лежит в плоскости орбиты! Между этими углами вовсе нет прямой связи, угол между плоскостями может быть сколь угодно мал при сколь угодно большой разности ДВУ. Если одна из двух орбит, например, полярная или экваториальная, то вторая может иметь вообще любую ДВУ, и при этом её угол с первой орбитой будет совершенно одинаков!
Но для кого это очевидно? Для человека с улицы это не очевидно, для среднего лунного конспиролога это не очевидно. И, выходит, для специалиста в области космической баллистики Максима Рогозы это тоже не очевидно? Пусть каждый решит для себя, насколько хорошим специалистом проявил себя Максим.
Посчитали — прослезились
Ваш лунный гид читал «разоблачения» Максима с экрана мобильника, гуляя с семьёй по улицам предрождественского Вильнюса. На площади перед кафедральным собором огромная толпа ждала, когда впервые в этом году зажжётся ёлка, а я думал о двух вещах: как не потеряться в толпе и как же всё-таки найти настоящий угол между орбитой КСМ и оптимальной орбитой ЛМ, на которую он должен выйти для стыковки. Бумаги под рукой не было (да и писать вечером в толпе невозможно), института им. Келдыша за плечами тоже — есть, с чего прослезиться. Но был опыт необременительных размышлений над векторами в 3D — с этим добром постоянно приходится иметь дело, когда подделываешь лунные фотографии манипулируешь лунными снимками. А думается лучше всего на прогулках, когда считать приходится без бумаги. Почему бы и в этот раз не прикинуть в уме?
Конечно, понадобились небольшие упрощения. В первую очередь мы предположим, что ЛМ садится на широте, равной наклонению i орбиты КСМ, то есть в самой северной или южной точке орбиты. Кроме того, мы пренебрежём прецессией орбиты КСМ. И теперь произведём нехитрые вычисления, которые читатель, не интересующийся алгеброй и векторами, может безболезненно пропустить.
<Немного математики в уме>
Пусть линия узлов орбиты проходит через ось x, а ось z пусть совпадает с осью планеты. Примем также радиус Луны за единицу. Тогда крайняя северная точка орбиты имеет координаты (0, cos i, sin i), а единичный вектор нормали — (0, -sin i, cos i). Пусть после посадки ЛМ в самой северной точке Луна повернётся на угол A. Лунный модуль тогда переместится в точку (-cos i sin A, cos i cos A, sin i).
Теперь очень просто найти косинус угла θ между нормалью к орбите и радиус-вектором лунного модуля: это скалярное произведение векторов нормали и радиус-вектора ЛМ:
cos θ = 0 x (-cos i sin A) + (-sin i) x (cos i cos A)+(cos i) x ( sin i) = -sin i cos i cos A + cos i sin i = (1 - cos A) cos i sin i = ½ (1 - cos A) sin 2i.
Опустим от ЛМ сегмент большого круга на орбиту КСМ перпендикулярно ей: это угловое расстояние между орбитой КСМ и новым положением ЛМ. Оптимальной орбитой для ЛМ будет та, что перпендикулярна этому сегменту: угол C между оптимальной орбитой и орбитой КСМ как раз будет равен угловой мере этой дуги. Нормаль оптимальной орбиты, очевидно, будет лежать в плоскости этой дуги, в ней же лежит радиус-вектор ЛМ и нормаль к орбите самого КСМ. Угол между нормалями двух орбит также будет равен C, при этом C = 90º - θ, а значит, sin C = cos θ. Окончательно получаем для наименьшего угла между орбитами
C = arcsin ∣½ (1 - cos A) sin 2i∣.
Модуль мы взяли потому, что угол между любыми плоскостями всегда острый или прямой. Проверим для крайних случаев: 1) для экваториальной (i = 0º) и полярной (i = 90º) орбит формула даёт ожидаемое C = 0; 2) для половины полного оборота Луны (A = 180º) получаем естественное C = 2i. Кажется, мы хоть и никакие не специалисты в области космической баллистики, но тем не менее не просчитались.
</Немного математики в уме>
Оказывается, всё так просто! И калькулятор есть в телефоне, можно посчитать прямо в толпе у вильнюсской ёлки. Прикинем для наклонения орбиты i = 30º и поворота Луны на 40º:
C = arcsin ∣½ sin 2x30º (1 - cos 40º)∣ ≈ 6º.
Всего шесть градусов как максимум! А для наклонения i = 10º так и вовсе два! Конечно, эти значения изменятся, если мы учтём, что посадка происходила на широте, чуть отличной от наклонения. Но отличие было небольшим и не меняло картины в целом. (Если рассмотреть задачу с посадкой на меньшей широте аккуратнее, то окажется, что, сев на восходящем участке витка — том, где КСМ поднимается к максимальной широте i — после поворота Луны можно оказаться аккурат вблизи нисходящей части витка, что сведёт угол практически до нуля. В нашем примере, при наклонении i = 30º сев всего парой градусов ближе к экватору, благодаря вращению Луны через три дня возможно вернуться точно в плоскость орбиты! ...Но для этих расчётов вашему лунному гиду понадобилась уже бумага и ручка.)
Но что же прецессия? Она может как увеличить, так и уменьшить угол в зависимости от того, садится ли ЛМ на восходящей или нисходящей части витка. И если она настолько велика, как предположил Максим Рогоза, то как это скажется на возможностях стыковки? Давайте проверим, насколько велика прецессия на самом деле.
Посчитали ещё раз — прослезились ещё раз (и ещё много, много раз)
Как ни странно, величину прецессии Максим не считал. Это тем более удивительно, что формулу (правильную) он привёл в своей беседе с нейросетями (или это они показали ему формулу?) Остаётся лишь гадать, что помешало Максиму на этот раз. Вместо расчёта он просто предположил, что орбита КСМ должна (якобы по замыслу инженеров НАСА) повернуться на все 40º за трое суток пребывания ЛМ на Луне. Так давайте поможем Максиму! Формула скорости прецессии линии узлов выглядит так (для круговой орбиты):
Поскольку ваш покорный слуга по образованию астрофизик, то он предпочитает не мучить себя и других точными расчётами до того, как оценит порядок величины. Поэтому упрощения и округления он прозводит на лету. Коэффициент 3/2? Округляем до единицы. Отношение радиуса Луны к радиусу орбиты в квадрате? Округляем до единицы, высота орбиты (около 100 км) мала в сравнении с размером Луны. Квадратный корень? Извлекаем из-под него радиус орбиты, под корнем в знаменателе остаётся просто a, и сам корень становится равным первой космической скорости. Косинус наклонения? Единица. (Возможно, такое радикальное упрощение вызывает у вас недоверие, но ваш лунный гид на самом деле чуть менее небрежен, чем пытается казаться: он видит, что и косинус, и выражение в скобках меньше единицы, а потому их сокращение с множителем 3/2 приводит к компенсации ошибок).
Формула значительно упрощается. В нашем приближении величина справа будет близка по модулю к следующему выражению:
В грубом приближении Vorb ≈ 1,7x10³ м/с и a ≈ 1,7x10⁶ метров, а значит, их отношение близко к 1/1000 (это отношение фактически равно средней угловой скорости орбитального движения, оно называется также средним движением). Значение J₂ для Луны хорошо известно, оно близко к 2x10⁻⁴, а значит, скорость прецессии окололунной орбиты будет иметь порядок величины 2x10⁻⁷ рад/с. Чтобы получить это значение в градусах в день, нужно результат умножить на ≈ 57,3 х 86 400 ≈ 5x10⁶. Результат простой и круглый — градус в сутки. Три градуса за трое суток. Конечно, гравитационное поле Луны сильно неоднородно, вклад от гармоники C₂₂ может быть сопоставим, а тут ещё те самые масконы, про которые так долго разорялся Максим... Но порядок величины не может измениться. Пусть там будет не три градуса, а один или пять. Но сорока градусов там не будет никогда и никаких шансов. Если бы инженеры НАСА рассчитывали, как думает Максим, что естественная прецессия повернёт орбиту на 40º за трое суток, их уволили бы с «волчьим билетом» (а не случилось ли такое с самим Максимом?).
А как влияют эти 3º прецессии на возможность стыковки? Почти никак. Конечно, они немного пододвигают орбиту КСМ к точке посадки ЛМ, ещё сильнее уменьшая величину манёвра. Но возможностей КСМ для исправления плоскости орбиты хватало и без этой помощи. Что же до неопределённостей, связанных с неточным знанием гравитационного поля Луны, то о них говорить и вовсе не имеет смысла в таком контексте: это небольшие поправки к малозачимому фактору (прецессии).
Подводём итоги. Специалист в области космической баллистики Максим Рогоза оплошал примерно во всём. Не нашлось вообще ничего, где он хотя бы приблизился к математическому разоблачению «Аполлона». Это был абслютный эпик-фейл. Если Михаила Коробкова можно было и похвалить за то, что в своей области — математике — он не оплошал, то Максим Рогоза похвалы не заслужил вовсе. Лунный заговор одержал над ним полную победу. Но — спешим повторить — не над наукой.
С вами лунные орбиты от космического самозванца спасал El Selenita.