В воскресенье 30 ноября 2025 года состоялся заключительный тур олимпиады Эйлера для учителей математики Санкт-Петербурга, Ленинградской области и всего Северо-Западного региона (это три разных зачёта, но пишут все вместе и по одному и тому же набору задач). Я уже в седьмой раз принял участие и в седьмой же раз стал призёром:
Хочется немного поделиться впечатлениями от задач и, соответственно, моих решений. Приглашаю всех желающих погрузиться в красивую математику.
Первая задача - как всегда, подарочная. Напрашивающаяся замена х+у=а, х-у=b приводит к вполне симпатичной системе, которая сразу приводит к несложному уравнению на b:
Дальше остаётся найти а и сделать обратную замену.
Вторая задача - геометрия. Ответ я понял, случайно нарисовав правильную картинку по клеточкам, но доказать его через "честную" (наглядную) геометрию традиционно не смог. На помощь пришли координаты:
Найдя МО и ОК, по теореме Пифагора находим квадрат МК, который и есть - та самая искомая площадь.
На попытку решить третью задачу как-то "по-честному" потратил больше всего времени после того, как первая попытка взять производную не задалась. Минут за 15 до конца олимпиады взял производную второй раз - на сей раз успешно:
И понятно, что минимум функции ровно там, где нам нужно.
А вот тут я привёл всю красоту к парочке не считающихся интегралов. Думаю, что переход "площадь-интеграл" всем более или менее очевиден. Но вот как её ещё можно посчитать, я не знаю. Вероятно, разность неберущихся интегралов в итоге должна была как-то посчитаться. Я не справился, но по-видимому 1 балл за попытку получил.
Ещё один случай, когда идея решения витает в воздухе - я её придумал почти сразу, но налажал в технической реализации, из-за чего несложное и красивое решение тоже писал буквально в последний момент:
Наверное, это была самая технически простая задача варианта.
Шестая - поиск ошибки в рассуждении, то, чем мы, учителя, занимаемся каждый день. Задача максимально симпатичная и нестандартная - часто у нас в школе с корнями шестой степени возятся? Вот и гипотетический ученик, чьё "решение" нам предлагают, начисто забыл про ОДЗ. А оно вовсе не только от 2 до ∞, но ещё и от -∞ до -3. И вот эту-то вторую ветку ОДЗ начисто игнорирует решение гипотетического ученика.
Проделываем абсолютно аналогичные действия и получаем второй, забытый учеником ответ.
Последняя задача всегда - на разные способы. И тут я тоже отличился, сперва неправильно взяв производную. К счастью, второе моё решение вывело мою же ошибку на чистую воду - и в итоге у меня два решения (а на полный балл нужно три). Может быть, кто-нибудь захочет предложить своё решение?
Вот теперь вы знаете, за что нас с коллегами награждали в среду в Мариинском дворце. Как вам задачи, должен ли учитель уметь их решать или нормально, что много лет преподающий в школе математику не решает ни одной из них?