С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь. Заметки конкретно по начертательной геометрии.
Начну с очевидного. Начертательная геометрия предоставляет в наше распоряжение большой набор приемов, следуя которым можно решить любую задачу, даже не задумываясь, как получается ответ. Естественно, только в том случае, если условия задачи достаточны для ее решения.
Однако предмет начертательной геометрии служит еще и развитию навыков пространственного воображения. Особенно хорошо это проявляется в задачах на пересечение фигур и в задачах построения различных вырезов в геометрических фигурах. Сегодня рассмотрим как раз такую задачу. И на ее примере я постараюсь объяснить подход, при котором пространственное воображение может заменить слепое следование алгоритмам получения проекций точек на эпюре Монжа.
Использую задачу со страницы 198 все из той же книги: Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина. – 1-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.: ил.
Требуется достроить проекции конуса, усечённого проецирующими плоскостями.
Мы можем сразу с места в карьер начинать строить следы фронтально и горизонтально проецирующих плоскостей и находить точки их пересечения с поверхностью конуса. Несомненно, именно это поможет нам решить поставленную задачу. Но прежде всего я предлагаю проанализировать, что мы хотим получить на выходе. Тогда все наши последующие построения будут не набором приемов начертательной геометрии, а осмысленными действиями.
Представим себе конус, «нарезанный» одной горизонтально проецирующей синей плоскостью и четырьмя фронтально проецирующими плоскостями. Картинку можно открыть в отдельном окне, чтобы рассмотреть ее детально. Проекция каждой плоскости на эпюре Монжа выделена соответствующим цветом.
Синих плоскостей должно быть две. Я показал одну исключительно из желания не «засорять» рисунок побочными деталями.
Мысленно избавимся от «лишних» частей конуса. Мы получили представление, как должен выглядеть конус, заданный условиями задачи. Имея этот образ, будем строить необходимые проекции.
Начнем со среза, который получается от синей фронтальной плоскости уровня.
Легко найдем горизонтальные проекции крайних точек этого сечения.
Две линии связи дают фронтальные проекции этих же точек.
Теперь найдем самую верхнюю точку среза. Красная окружность, принадлежащая поверхности конуса, параллельна основанию конуса. Построим ее на такой высоте от этого основания, чтобы она касалась синей фронтальной плоскости уровня в одной точке. Эта точка и будет верхней точкой среза.
Без труда найдем горизонтальную проекцию этой красной окружности и горизонтальную проекцию верхней точки среза.
Напомню, красная окружность параллельна основанию конуса, следовательно, ее фронтальная проекция будет красным отрезком, параллельным основанию конуса и оси X. А концы этого отрезка определим с помощью двух линий связи.
Теперь узнаем, где находится фронтальная проекция верхней точки среза.
Построим новую красную окружность, принадлежащую поверхности конуса и параллельную его основанию. Расположение этой окружности по высоте должно быть в диапазоне от основания конуса до верхней точки среза.
Выбранная окружность имеет две точки пересечения с синей плоскостью.
Горизонтальная проекция окружности, естественно, тоже имеет два пересечения с проекцией синей плоскости.
Две точки при их пересечении — это горизонтальные проекции двух точек, принадлежащих кромке среза.
Снова построим фронтальную проекцию красной окружности с помощью двух линий связи.
И определим фронтальные проекции двух точек.
Выбрав еще пару красных окружностей и проделав все операции еще пару раз, получим достаточное количество фронтальных проекций точек, чтобы с помощью лекала построить фронтальную проекцию бокового среза конуса.
Стоит упомянуть, что фронтальная проекция заднего среза конуса полностью совпадает с проекцией переднего среза. Надеюсь, это понятно.
Фрагмент фронтально проецирующей плоскости, проекция которого обозначена на эпюре коричневым отрезком, отсекает на конусе сечение в виде равнобедренного треугольника. Две равные стороны этого треугольника располагаются на боковой поверхности конуса, а основание треугольника перпендикулярно фронтальной плоскости XOZ.
Построим красную окружность, которая лежит в одной плоскости с основанием коричневого треугольника. Естественно, такая окружность параллельна плоскости основания конуса.
Поэтому фронтальная проекция красной окружности будет параллельна фронтальной проекции основания и будет проходить через конец коричневого отрезка.
Две точки пересечения коричневых линий с красной окружностью на фронтальной проекции будут выглядеть как одна точка.
Построим горизонтальную проекцию красной окружности.
Линия связи дает нам горизонтальные проекции концов двух коричневых отрезков.
Теперь можно построить горизонтальные проекции всех трех сторон равнобедренного треугольника, полученного от сечения конуса фронтально проецирующей коричневой плоскостью.
Фрагмент фронтально проецирующей плоскости, проекция которого обозначена на эпюре зелёным отрезком, отсекает на конусе бочкообразное сечение. Верхняя и нижняя стороны этого сечения параллельны друг другу и основанию конуса, а боковые стороны симметричны и являются кривыми второго порядка.
Еще стоит упомянуть, что верхняя сторона этого сечения совпадает с основанием коричневого равнобедренного треугольника.
Начнем с поиска нижней стороны сечения. Поступим так же, как когда искали основание коричневого равнобедренного треугольника.
Нарисуем фронтальную проекцию красной окружности, проходящую через нижнюю точку зеленого отрезка и параллельную оси X. То, что фрагменты видимой и невидимой части красной окружности будут выступать за усеченную боковую поверхность конуса, как бы «висеть в воздухе», не должно нас волновать. Поскольку конечные точки нижней стороны зеленого сечения располагаются как на красной окружности, так и на поверхности конуса.
С помощью горизонтальной проекции красной окружности строим горизонтальные проекции искомых точек.
Мы получили горизонтальную проекцию нижней части зеленого сечения.
Найдем пару промежуточных точек для построения боковых линий зеленого сечения. Как и до этого, строим фронтальную проекцию произвольной красной окружности с единственным условием, чтобы эта проекция пересекала зеленый отрезок, и, конечно, окружность должна быть параллельна основанию конуса.
Горизонтальная проекция этой окружности позволяет получить две дополнительные горизонтальные проекции точек зеленого сечения, по одной точке на каждую сторону.
Повторяя последние действия, получим достаточное количество точек для построения зелёных кривых с помощью лекала.
Фрагмент голубой фронтально проецирующей плоскости отсекает на конусе сегмент круга.
Поэтому вспомогательную красную окружность будем строить в плоскости этого сегмента. Фронтальная проекция этой окружности приведена на рисунке.
Как обычно, построим горизонтальную проекцию красной окружности.
А линия связи не только показывает расположение крайних точек хорды сегмента, но и сразу определяет весь этот сегмент.
Без вспомогательной окружности окончательный вариант горизонтальной проекции голубого сегмента выглядит так.
Фрагмент красной фронтально проецирующей плоскости отсекает на конусе бочкообразное сечение, как и в случае с зеленым сечением. Верхняя и нижняя стороны красного сечения параллельны друг другу и основанию конуса, а боковые стороны симметричны и являются кривыми второго порядка. Кривизна боковых сторон минимальна и визуально плохо заметна.
Действия для построения горизонтальной проекции красного сечения аналогичны предыдущим действиям при определении горизонтальной проекции зеленого сечения. Мы используем несколько окружностей, параллельных основанию конуса, располагая эти окружности по высоте в диапазоне от верхней до нижней точек красного отрезка, который является частью следа красной фронтально проецирующей плоскости.
Серая вспомогательная окружность дает фронтальную проекцию двух точек боковых сторон красного сечения в виде одной точки.
Горизонтальная проекция вспомогательной окружности и линия связи помогают определить две горизонтальных проекции этих точек.
После повторения этой процедуры несколько раз, с помощью лекала построим горизонтальные проекции двух боковых сторон красного сечения. Мы решили поставленную задачу.
В заключение хочу обратить ваше внимание, что только коричневая фронтально проецирующая плоскость отсекла на конусе сечение с прямолинейными сторонами. Потому что коричневая плоскость единственная из всех рассмотренных плоскостей проходила через вершину конуса.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
