Демоверсии экзамена 2026 года ещё нет, однако ФИПИ (официальный разработчик КИМ) выложил документ, согласно которому изменений в КИМ 2026 года по сравнению с КИМ 2025 не будет. Таким образом, демоверсия 2025 года является актуальной и для 2026. Сегодня подробно разберём все включенные в нём задания.
Часть 1
Задания 1-5
Вот здесь кроется единственное на данный момент различие. Поясню. Согласно ФИПИ, изменений в КИМ нет, однако в начале 2025 года в открытом банке заданий ОГЭ появились новые вариации заданий на шины. По сути, из 5 заданий 4 остались прежними, изменилось лишь задание №2.
В связи с этим, считаю логичным не приводить формулировки заданий 1-5. Здесь можно ознакомиться с подробным разбором обновленных заданий на шины.
Задание 6
Представьте выражение 3/5 - 2/7 в виде дроби со знаменателем 70. В ответ запишите числитель полученной дроби.
Необходимо представить разность двух дробей в виде одной дроби со знаменателем 70, следовательно, будем вычитать дроби, зная их общий знаменатель.
Найдём дополнительные множители, разделив общий знаменатель на знаменатель каждой дроби: для первой дроби 70 : 5 = 14, для второй 70 : 7 = 10. Умножим дроби на полученное множители, получим 42/70 - 20/70 = 22/70. В ответ запишем числитель получившейся дроби.
Ответ: 22
Задание 7
Одно из чисел 5/9, 11/9, 13/9, 14/9 отмечено на прямой точкой.
Какое это число?
1) 5/9; 2) 11/9; 3) 13/9; 4) 14/9
Переведём дроби в десятичные, разделив числитель на знаменатель: 5 : 9 = 0,(5), 11 : 9 = 1,(2), 13/9 = 1,(4), 14/9 = 1,(5). Точка на чертеже находится между 0,5 и 0,6, следовательно, она соответствует дроби 0,(5) или 5/9.
Ответ: 1
Задание 8
Найдите значение выражения а¹⁴ * (b⁴)³ / (а * b)¹² при а = 3, b = √3.
Согласно свойству степеней, скобку (а * b)¹² можно разложить на множители, каждый из которых сохранит степень 12. Тогда выражение приобретёт вид а¹⁴ * (b⁴)³ / а¹² * b¹².
Поработаем с каждым основанием в отдельности. Применим свойства степеней и получим для основания а показатель 14 - 12 = 2, а для основания b 4*3 - 12 = 12 - 12 = 0. Тогда выражение имеет вид а² * b⁰. Согласно свойству, b⁰ = 1. Подставим а = 3. Получим 3² = 9.
Ответ: 9
Задание 9
Решите уравнение 2х² - 3х + 1 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Выделим коэффициенты: a = 2, b = -3, c = 1.
Найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1. Следовательно, √D = 1.
Вычислим корни уравнения:
x₁ = (-b + √D) / 2a = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1,
x₂ = (-b - √D) / 2a = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2 = 0,5.
В ответ укажем меньший из корней, то есть 0,5.
Ответ: 0,5
Задание 10
В магазине канцтоваров в продаже 100 ручек: 37 красных, 8 зелёных, 17 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка окажется красной или чёрной.
Чтобы найти вероятность события, необходимо число благоприятных исходов разделить на число всех исходов.
Все исходы - выбор любой из всех возможных ручек, следовательно, их 100. Благоприятные исходы - выбор красной или чёрной ручки.
Количество красных ручек известно, найдём количество чёрных. Синие и чёрные = все - зеленые - фиолетовые - красные, то есть 100 - 37 - 8 - 17 = 100 - 62 = 38. Чёрных и синих ручек поровну, то есть по 19.
Тогда красных и черных ручек вместе 37 + 19 = 56, а вероятность их выбора 56 / 100, то есть 0,56.
Ответ: 0,56
Задание 11
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции.
А) y = -x² -x + 5; Б) y = -x*3/4 - 1; В) y = -12/x
Графики.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Рассмотрим функции.
А) y = -x² -x + 5. Соответствует виду квадратной функции y = аx² + bx + c. График квадратичной функции - парабола, изображенная на рисунке 1.
Б) y = -x*3/4 - 1. Соответствует виду линейной функции y = kx + b. График линейной функции - прямая, изображенная на рисунке 2.
В) y = -12/x. Соответствует функции вида y = b/x. График этой функции - гипербола, изображенная на рисунке 3.
Ответ: 123
Задание 12
Энергия заряженного потенциала W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU² / 2, где С - ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 10⁻⁴ фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Подставим данные в формулу: W = CU² / 2 = 10⁻⁴ * 12² / 2 = 10⁻⁴ * 144 / 2 = 10⁻⁴ * 72 = 0,0001 * 72 = 0,0072
Ответ: 0,0072
Задание 13
Найдите множество решений системы неравенств.
Решим каждое из неравенств системы.
В первом неравенстве перенесём -8 в правую часть, а затем разделим всё неравенство на 4: -8 + 4x > 0 => 4x > 8 => x > 2.
Во втором неравенстве перенесём 4 в правую часть, а затем разделим всё неравенство на -3, изменив при этом его знак: 4 - 3х > -8 => -3x > -12 => x < 4.
Получаем два неравенства: x > 2 и x < 4, следовательно, решением системы является промежуток от 2 до 4 (не включительно).
Ответ: 4
Задание 14
Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 6 м, а за каждую следующую секунду на 10 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?
По сути, предполагается, что это задание будет решено по формулам арифметической прогрессии, однако можно обойтись и без них.
Если камень за первую секунду пролетел 6 метров, а за каждую следующую - на 10 метров больше, то за вторую секунду он пролетел 16 м., за третью 26 м., за четвёртую 36 м., за пятую 46 м.. Тогда за первые пять секунд он пролетел 6 + 16 + 26 + 36 + 46 = 130 метров.
Ответ: 130
Задание 15
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123° . Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Внешний угол при вершине С является смежным с углом С в треугольнике, а сумма смежных углов равна 180 градусов, отсюда угол С = 180° - 123° = 57°.
Треугольник ABC равнобедренный, тогда угол А равен углу С, то есть 57°. Сумма углов треугольника 180 градусов. Тогда для нахождения угла В необходимо из 180 градусов вычесть величины оставшихся двух углов А и С, следовательно, угол В = 180° - 57° - 57° = 66°.
Ответ: 66
Задание 16
В треугольнике ABC угол C равен 45° , AB = 6√2 .Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Воспользуемся теоремой синусов, согласно которой AB : sinC = 2R, где R - радиус описанной окружности.
Подставим известные значения: 6√2 : √2/2 = 2R => 12 = 2R => R = 6.
Ответ: 6
Задание 17
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Если из вершин верхнего основания к нижнему опустить две высоты, то они разделят нижнее основание на отрезки 3, 2 и 3 см (слева направо). Высоты образуют прямоугольные треугольники, в одном из которых известно два угла. Найдём третий. Для этого из 180 градусов вычтем значения известных углов (90 и 45 градусов) и получим 45 градусов, что делает прямоугольный треугольник ещё и равнобедренным. Отсюда следует равенство высоты трапеции и известного нам отрезка длиной 3, потому что они являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника.
Теперь найдём площадь трапеции по формуле: S (a + b) * h / 2, где а и b - основания трапеции, h - её высота. S = (2 + 8) * 3 / 2 = 10 * 3 / 2 = 30 / 2 = 15.
Ответ: 15
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Основания на рисунке равны 1 и 7, тогда средняя линия равна (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4.
Ответ: 4
Задание 19
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
- Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
В задании спрашивают "Какие", следовательно, верных утверждений несколько. Второе утверждение неверно, значит верны 1 и 3.
Ответ: 13
Часть 2
Задание 20
Решите неравенство.
Неравенство представляет собой дробь, которая меньше либо равна нолю. Числитель дроби отрицателен, следовательно, чтобы она была меньше либо равна нулю, необходимо, чтобы её знаменатель был больше ноля (не больше или равен - знаменатель не может быть равен нолю).
Получим неравенство x² - 7x - 8 > 0. Приравняем его левую часть к нолю, чтобы найти корни -1 и 8. Тогда неравенство приобретает вид (x + 1)(x - 8) > 0.
Решим его методом интервалов, проверяя знаки. На интервале (-∞, -1) знак "+", на интервале (-1; 8) знак "-", на интервале (8, +∞) знак "+". В ответ запишем интервалы со знаком "+", то есть первый и третий.
Ответ: x ∈ (-∞, -1) ∪ (8, +∞)
Задание 21
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Первый случай. Если слить растворы массами 10 и 16 кг, то получим раствор 55% концентрации. Пусть x - концентрация первого раствора, тогда y - концентрация второго. Составим уравнения: 10x + 16y = 26 * 0,55. Вычислим: 10x + 16y = 14,3.
Второй случай. Если слить равные массы этих растворов, то получим раствор 61% концентрации. Возьмём массы растворов по 1 кг, тогда x + y = 2 * 0,61. Вычислим: x + y = 1,22.
Уравнения составляют систему. Выразим из второго уравнения x: x = 1,22 - y.
Подставим это выражение вместо х в первое уравнение: 10(1,22 - y) + 16y = 14,3. Отсюда 12,2 - 10y + 16y = 14,3. Значит 6y = 2,1, тогда y = 0,35.
Концентрацию кислоты в первом растворе обозначили за x, мы выразили, что x = 1,22 - y. Подставим: x = 1,22 - 0,35 = 0,87.
Ответ: 87%
Задание 22
Постройте график функции
и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.
Поработаем с числителем: x⁴ - 13x² + 36.. Если прировнять его к нолю, то получим уравнение, которое решается методом замены.
Заменим: t = x², t ≥ 0. Получим уравнение t² - 13t + 36.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = -13, c = 36. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25. Следовательно, √D = 5.
Найдём корни уравнения:
t₁ = (-b + √D) / 2a = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9,
t₂ = (-b - √D) / 2a = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4.
Оба корня соответствуют установленному нами ограничению t ≥ 0.
Проведём обратную замену:
t₁ = x² => 9 = x² => x = ± 3,
t₂ = x² => 4 = x² => x = ± 2.
Таким образом, можем представить числитель в виде (x – 3)(x + 3)(x – 2)(x + 2).
Перенесем это в уравнение: y = (x – 3)(x + 3)(x – 2)(x + 2) / (x – 3)(x + 2). Сократим на (x – 3) и на (x + 2), при этом отметим, что оба этих выражения не равны нолю, следовательно, x ≠ -2 и x ≠ 3 . Получим y = (x + 3)(x – 2) = x² + x - 6.
Вычислим координаты вершины параболы. x = -b / 2a = -1 / 2 = -0,5. y = x² + x + 6 = (-0,5)² - 0,5 - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25. Тогда точка (-0,5; -6,25) - вершина параболы.
Учтём, что -2 и x ≠ 3, тогда парабола не проходит через точки (-2; -4) и (3; 6).
Схематично парабола выглядит так.
Таким образом, прямая y = c имеет с параболой ровно одну общую точку, когда проходит через её вершину (c = -6,25), либо через одну из выколотых точек (с = 6 и c = -4).
Ответ: с = -6,25; c = -4; c = 6.
Задание 23
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
Найдём гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: с² = a² + b² => AB² = AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Тогда AB = 10, а CK = AB : 2 = 10 : 2 = 5.
Ответ: 5
Задание 24
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Сделаем дополнительное построение: проведём высоту OP трапеции, которая проходит через точку Е.
Если боковую сторону трапеции AB и её высоту PO продолжить до пересечения в одной точке, то по теореме Фалеса средняя линия трапеции поделит её высоту пополам => PE = EO.
Пояснения: AB - отрезок на одном луче полученного угла, OP - отрезок на другом его луче, которые отсечены параллельны прямыми. Средняя линия делит AB пополам, следовательно, и OP она также делит пополам.
Выразим площади треугольников BEC и AED:
S (BEC) = BC * OE / 2.
S (AED) = AD * EP / 2.
Тогда сумма площадей равна BC * OE / 2 + AD * EP / 2 = (BC * OE + AD + EP) / 2.
Мы доказали, что OE = EP, значит один отрезок можем в записях заменять другим. Отсюда сумма площадей равна (BC * OE + AD * OE) / 2 = OE * (AD + BC) / 2.
Учтём, что OE - половина ОР. Тогда сумма площадей треугольников равна OP / 2 * (AD + BC) / 2 = OP * (AD + BC) / 4. Иными словами, сумма площадей равна произведению высоты трапеции на сумму оснований, деленную на четыре, что как раз и является половиной площади трапеции (в ней сумма оснований делится на два). ЧТД
Задание 25
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
На чертеже: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 12, окружность с центром О и радиусом OM = 8, M - точка касания двух окружностей. Необходимо найти радиус окружности с центром Q.
BA и BC - две касательные к окружности с центром в точке Q, следовательно, центр этой окружности лежит на биссектрисе угла, образованного этими касательными, т.е. BM - биссектриса. BM - биссектриса в равнобедренном треугольнике ABC, следовательно BM также медиана и высота. Отсюда следует, что AM = MC = AC / 2 = 12 / 2 = 6.
СQ и CO - биссектрисы смежных углов, следовательно, угол COQ - прямой, а треугольник COQ прямоугольный. СМ в нём - высота, следовательно, CM² = MQ * MO => 6² = 8 * MQ => 36 = 8MQ => MQ = 36 : 8 = 4,5
Ответ: 4,5
Заключение
Для того, чтобы и дальше следить за публикациями на тему подготовки к ОГЭ по математике, подписывайтесь на мой канал. Также не забудьте посмотреть следующие полезные статьи:
Все для ОГЭ по математике 2025 в одной статье
Легальная шпаргалка для ОГЭ по математике 2025 : что такое справочные материалы и зачем они нужны
Как рассчитать свою оценку за ОГЭ по математике в 2025 году?