Привет всем, кто не боится учиться!👋
Сегодня мы подробно (о-о-очень) размерем задачу, связанную с законом всемирного тяготения (о законе можно прочитать здесь), а также повторим пару забытых формул.
Прежде чем приступить к чтению, подписывайтесь на мой телеграм-канал, там я выкладываю (буду выкладывать😅) много интересного.
В статье рассмотрено решение задачи номер 168 из сборника задач по физике 10-11 класса Н. А. Парфентьевой.
Условие задачи 📝:
Вблизи некоторой планеты по круговой орбите вращается спутник с периодом обращения, равным 10 ч. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что высота, на которой движется спутник, много меньше радиуса планеты.
Для большинства задач удобнее всего начинать решение "с конца", то есть отталкиваться от вопроса задачи.
В данной задаче необходимо найти среднюю плотность планеты. Нам необходимо понимать, что слово "средняя" обозначает следующее: мы не можем утверждать, что масса планеты распределена по ее объему равномерно. Поэтому та плотность, которую мы вычислим, будет являться средней плотностью. Сама формула плотности, которую необходимо использовать, всем нам хорошо известна, запишем ее:
Теперь нам нужно проанализировать данную формулу: масса планеты M и ее объем V нам неизвестны, то есть нужно расписывать эти величины далее. Для начала мы можем расписать объем планеты, используя формулу для объема шара:
Теперь нам надо расписать массу планеты M. Для этого запишем второй закон Ньютона для спутника (силу сопротивления воздуха не учитываем):
Сила F, которая действует на спутник, - это гравитационная сила. Для неё мы можем записать закон всемирного тяготения (в знаменателе находится только радиус планеты R, поскольку по условию задачи высота h, на которой движется спутник, много меньше радиуса планеты - то есть высотой h можно пренебречь):
Теперь приравняем первое и второе выражения:
Напомню, что сейчас наша задача заключается в том, чтобы получить формулу для массы планеты M.
Анализируем выражение (3): массы спутника m можно сократить, гравитационная постоянная G нам известна, радиус планеты R по условию задачи неизвестен, но! мы помним, что радиус планеты R фигурирует в формуле объема шара и при подстановке в формулу плотности эта переменная сократится (по крайней мере мы на это можем надеяться🤞).
Остается только ускорение a. Его как раз таки нам нужно расписывать дальше.
Ускорение спутника a является центростремительным, поскольку спутник движется по круговой траектории. Запишем формулу центростремительного ускорения:
Снова анализируем: радиус планеты нам подходит: его мы оставляем, а вот скорость спутника нужно будет расписывать. Для этого вспомним взаимосвязь линейной и угловой скорости:
📌Угловая скорость (при равномерном вращении) - это величина, равна отношению угла поворота тела к промежутке времени, за который этот поворот произошел.
То есть если тело, находившееся в точке А, повернулось на угол "фи" за промежуток времени "дельта t", угловую скорость данного тела можно вычислить так:
Здесь так же нужно отметить, что угловую скорость вычисляют в рад/с (радиан в секунду). То есть угол поворота мы будем подставлять далее тоже в радианах.
Если тело пройдет полный круг, то угол поворота будет равен "2пи" (то есть 360 градусов), а время его движения будет равно периоду T.
Таким образом, формула угловой скорости будет иметь следующий вид:
Подставим данное выражение в формулу линейной скорости, а затем полученную скорость - в формулу центростремительного ускорения:
Теперь подставим полученное выражение для ускорения a в формулу (3):
В данном выражении мы можем сократить массу спутника m (поделить и левую, и правую часть уравнения на m). А далее выразить массу планеты M (это легко сделать, например, с помощью правила пропорции):
Мы близки к ответу!
Теперь нам нужно вернуться к формуле плотности, с которой мы начинали свои рассуждения, подставить в нее полученную массу и формулу объема шара. Так как формула массы и объема представляют из себя обыкновенные дроби, мы можем сразу перевернуть вторую дробь и заменить действие деления на умножение:
После сокращения четверок, радиуса R в кубе и числа "пи" получим:
Это и есть наш ответ на задачу!
Обратите внимание, в полученном ответе фигурируют только константы (число "пи" и гравитационная постоянная), а также период обращения спутника T. Каких-либо других величин у нас не должно быть, так как по условию задачи был известен только период T.
Таким образом можем сделать вывод, что средняя плотность планеты может быть посчитана через период обращения спутника вокруг нее, даже без применения таких привычных характеристик как масса и радиус планеты. Теперь нам осталось только подставить численные значения в полученную формулу:
🏁 Готово, задача решена! 🏁
Средняя плотность планеты 110 кг/м3.
Если вы дочитали до конца, подписывайтесь на канал и ставьте палец вверх👍 Это мотивирует быстрее публиковать новые статьи!