С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь. Заметки конкретно по начертательной геометрии.
Сегодня разговор пойдет о построении проекций линии, расположенной на поверхности конуса. В качестве примера возьмем задачу со страницы 197 из книги: Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина. – 1-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.: ил.
Требуется построить горизонтальные проекции конуса вращения и линии, принадлежащей его поверхности.
Давайте определимся. Любой из нас знает, как будет выглядеть чертеж конуса на эпюре Монжа. Рисунок будет таким.
Но одно дело — знать, а другое — построить соответствующую кривую только с помощью линейки, циркуля и лекала, ну, может, еще транспортир когда-нибудь понадобится. Это нам и предстоит сделать.
Сразу отмечу, что угол раствора конуса на горизонтальной проекции больше, чем на фронтальной.
Вернемся к условиям задачи и начнем построение. На фронтальной проекции я выделил основание конуса красным цветом, а внешний контур конусообразной поверхности — синим. Линия на поверхности конуса — зеленая. Еще я добавил вспомогательную полуокружность у красного основания (она нам понадобится позже) и Вид А. Обратите внимание, Вид А — это проекция основания конуса без искажения, окружность остается окружностью.
Специально подчеркну, что Вид А при решении задачи не нужен, в отличие от вспомогательной полуокружности. Но с помощью Вида А мои действия будут более понятны.
Горизонтальная проекция вершины конуса фактически сразу присутствует в условиях задачи. Я только обозначил ее синей точкой. А еще я нашел горизонтальные проекции точек основания конуса, которые располагаются на осях симметрии основания.
Казалось бы, можно получить горизонтальные проекции внешнего контура конуса, просто соединив синюю точку и две красных точки на вертикальной оси. Однако полученные таким образом синие отрезки не являются проекциями внешнего контура. Позже мы в этом убедимся. Поэтому сначала необходимо построить горизонтальную проекцию основания конуса.
Выберем произвольную точку на фронтальной проекции основания. Если мы посмотрим на Вид А, то поймем, что речь идет о двух конкурирующих точках, которые на фронтальной проекции выглядят как одна точка. Как получить их горизонтальные проекции? Одну координату мы получаем с помощью вертикальной линии связи.
А вторые координаты для двух точек найдем, понимая, что на горизонтальной проекции эти точки отстоят от горизонтальной оси симметрии на расстоянии r. Размер r будем определять по фронтальной проекции конуса с помощью вспомогательной полуокружности. Еще раз напоминаю, что при решении задачи Вид А не рисуется и не используется. Я разместил его для большей иллюстративности алгоритма решения задачи.
Фактически вспомогательная полуокружность — это половина окружности из Вида А, повернутая вокруг оси окружности на 90 градусов так, чтобы эта полуокружность стала параллельной фронтальной плоскости проекции.
Выбрав одну точку на фронтальной проекции, мы нашли сразу две точки горизонтальной проекции основания конуса. Но на самом деле мы можем построить сразу четыре точки. Потому что горизонтальная проекция основания симметрична относительно вертикальной оси (в пространстве эта ось симметрии сонаправлена с координатной осью Y).
Поэтому на горизонтальной плоскости проекции мы строим два перпендикуляра к вертикальной оси, проходящие через только что полученные точки. И находим точки, симметричные полученным относительно этой оси.
Выберем следующую точку на фронтальной проекции основания конуса. Как и ранее, это две конкурирующие точки.
Найдем горизонтальные проекции этой пары. Для определения размера r снова используем вспомогательную полуокружность, построив перпендикуляр к фронтальной проекции основания конуса.
И снова определим симметричные точки на горизонтальной проекции. Обратите внимание, на фронтальной поверхности, в отличие от Вида А, я не указываю точки, которые мы получаем на горизонтальной проекции, используя свойство симметрии. Для решения задачи в этом нет никакой необходимости.
Зададим расположение еще пары точек на фронтальной проекции. Получим вот такой рисунок.
Теперь с помощью лекала построим горизонтальную проекцию основания конуса. Чтобы начертить горизонтальную проекцию внешнего контура конуса, необходимо построить касательные к красному эллипсу, которые будут проходить через синюю точку.
Если вам потребуется определить фронтальную проекцию горизонтальной проекции внешнего контура, можно сделать это, используя вертикальную линию связи.
Помимо чисто познавательного интереса, такая фронтальная проекция при пересечении с зеленой линией дает нам фронтальную проекцию точки, которая на горизонтальной проекции разделяет видимую и невидимую части этой линии.
Узнав расположение крайних точек зелёной линии и имея пограничную точку, разделяющую видимую и невидимую части, приступим к построению горизонтальной проекции зелёной линии.
Алгоритм следующий. Строим фронтальную проекцию произвольной образующей конуса. Я начал с видимой части. Определяем горизонтальную проекцию построенной образующей. Находим точку пересечения образующей и зеленой линии на поверхности конуса. Сначала на фронтальной проекции, а затем на горизонтальной.
Повторим эту операцию несколько раз, получим необходимое для построения кривой количество промежуточных точек.
Далее с помощью лекала завершаем решение задачи.
В изометрии этот алгоритм построения зеленой кривой выглядит так.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.