Первая часть https://dzen.ru/a/ZioIrIkuO0GTVTim
Известно следующее высказывание М. Атьи: «Никто до конца не понимает спиноры. Их алгебра формально понятна, но их геометрическое значение загадочно» [1, C. 430].
Однако в середине 50-х годов прошлого века Б.А. Розенфельдом был предложен очень интересный геометрический подход к описанию спиноров [2]. Суть этого подхода заключается в том, что координаты спиноров интерпретируются как координаты плоских образующих максимальной размерности абсолютов неевклидовых пространств.
С другой стороны, известна геометрическая интерпретация Пенроуза [3], представляющая спинор как изотропный флаг (см. рис. 1)
Как известно, движения пространства Лобачевского S(1,2), понимаемого как трёхмерная гиперсфера мнимого радиуса (двуполостной гиперболоид), задаются группой вращений (группа Лоренца) пространства-времени R(1,3), в котором нулевая квадрика задает световой конус. Пересечение на бесконечности верхней и нижней пол гиперболоида с нулевой квадрикой задает абсолют пространства S(1,2), который гомеоморфен
расширенной комплексной плоскости C ∪ ∞ («небесная сфера» у Пенроуза для
верхней полы и, соответственно, «антинебесная сфера» для нижней полы). Движения пространства S(1,2) могут быть представлены преобразованием H = AΞA^{−1}, где A – элемент спинорной группы Spin_+(1, 3), H и Ξ – линейные комбинации элементов алгебры Клиффорда Cl(1,3), ассоциированной с пространством R(1,3). В свою очередь, алгебра Cl(1,3) допускает факторизацию Cl(1,3) = Cl(1,1) ⊗ Cl(0,2), где Cl(0,2) = H – алгебра кватернионов, Cl(1,1) – алгебра с вещественным кольцом деления K =R, тип p−q ≡ 0 (mod 8).
Далее решение системы уравнений b = Ξa = 0 на световом конусе с использованием тождеств Липшица определяет точку на абсолюте пространства S(1,2). Отсюда следует, что каждой точке абсолюта пространства S(1,2) соответствует изотропная прямая пространства R(1,3), проходящая через некоторую точку этого пространства. Точки пространства S(1,2), как собственные, так и бесконечно удалённые и идеальные, можно представить произвольными векторами пространства R(1,3), направленными по прямым связки, соответствующим этим точкам [2]. Эти векторы удовлетворяют условию (x, x) = 0 для точек абсолюта пространства S(1,20. Изотропные
прямые связки образуют световой конус пространства R(1,3). Следовательно, изотропный вектор, направленный по изотропной прямой связки есть флагшток изотропного флага согласно интерпретации Пенроуза. Точка, в которой флагшток пересекает небесную (антинебесную) сферу, есть точка абсолюта пространства S(1,2). В плоском сечении, показанном на рис. 2, абсолют разделяет плоскость на две области с различной геометрией: внутри абсолюта находится L_2 – гиперболическая плоскость отрицательной кривизны, вне абсолюта, H_2 – гиперболическая плоскость положительной кривизны.
Гиперболическая плоскость H_2 положительной кривизны гомеоморфна листу Мёбиуса без его границы [2,5].
Полотнище флага (пространственноподобный вектор согласно Пенроузу [3]) принадлежит плоскости H_2. В данном случае полотнище флага есть плоская образующая абсолюта пространства S(1,2), т.е. прямая линия. Соответственно, при движении флагштока (изотропного вектора) вокруг светового конуса, что соответствует движению точки на абсолюте, полотнище флага в силу топологии листа Мёбиуса возвращается в исходное положение при вращении флагштока на 720 градусов.
.
Предложенная геометрическая интерпретация спинора [6] показывает, что спинор связан с бесконечностью, т.е. с бесконечно удалёнными точками абсолюта и идеальными точками пространства Лобачевского, что в некотором смысле оправдывает «загадочность» спинора согласно Атье, поскольку в данном случае бесконечность понимается актуально.
ЛИТЕРАТУРА
1. Farmelo G. The Strangest Man: The Hidden Life of Poul Dirac, Quantum Genious. New York: Basic Books, 2009.
2. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955.
3. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. М.: Мир, 1987.
4. Varlamov V.V. Rozenfeld’s Geometric Approach to Spinors. 2025. arXiv:2503.00017 [mathph]. https://arxiv.org/abs/2503.00017
5. Ромакина Л.И. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013.
6. Варламов В.В. Геометрия спинора и лист Мёбиуса. Омская конференция
по геометрии и её приложениям 13-16 октября 2025. С. 68–70. https://geomconf2025.oscsbras.ru/template/omskgeometry2025.pdf