Никто до конца не понимает спиноры. Их алгебра формально понятна, но их геометрическое значение загадочно.
Майкл Атья [1, с. 430]
Вынесенное в эпиграф высказывание Атьи о «загадочности» спиноров наво-дит на мысль о том, что в поиске первоэлемента материи (prima materia) определяющую роль играет фундаментальное понятие спинора. В связи с этим рассмотрим истоки возникновения этого понятия, восходящие к кватернионам Гамильтона, а также геометрическое (Картан) и алгебраическое (Брауэр–Вейль) определения спинора. Итак, теория алгебр Клиффорда берёт своё начало от кватернионов Гамильтона [2] и теории протяжённости Грассмана [3].
Алгебра, введённая Клиффордом [4], является обобщением алгебры кватернионов на случай многомерных пространств. Как следствие этого обобщения, в алгебре Клиффорда возникает кватернионная структура, являющаяся тензорным произведением алгебр кватернионов, т. е. тензорным произведением четырёхмерных алгебр (размерность алгебры кватернионов равна 4). Изучая вращения 𝑛-мерного евклидова пространства R(𝑛), Липшиц [5] установил, что группа вращений пространства R(𝑛) с определителем +1 двузначно изображается спинорной группой.
Как известно [6], группы движений 𝑛-мерных неевклидовых пространств 𝑆(𝑛) изоморфны группам вращений пространств R(𝑛+1). Поскольку алгебры Клиффорда изоморфны матричным алгебрам, спинорные представления движений пространств 𝑆(𝑛) можно рассматривать как представления этих движений линейными преобразованиями векторов в соответствующих пространствах. Векторы этих пространств называются спинорами пространств 𝑆(𝑛). Понятие спинора было введено Картаном [7].
Ван дер Варден [8] отмечает, что название «спинор» было дано Эренфестом после появления известной статьи Гаудсмита и Уленбека [9] о вращающемся электроне. Более точно, геометрический смысл спинорных представлений движений неевклидовых пространств 𝑆(𝑛) состоит в том, что координаты спиноров можно рассматривать как координаты плоских образующих максимальной размерности абсолютов этих пространств, а спинорные представления движения этих пространств совпадают с теми пре-образованиями спиноров, которые соответствуют преобразованиям абсолютов при движениях. Абсолютом называется множество бесконечно удалённых точек неевклидова пространства. Так, в случае, важном для физики, известно, что связная группа движений трёхмерного неевклидова пространства 𝑆(1,2) (пространство Лобачевского) изоморфна связной группе вращений четырёхмерного псевдоевклидова пространства R(1,3) (пространство-время Минковского), совпадающей с группой преобразований Лоренца специальной теории относительности. Поэтому спинорное представление связной группы движений пространства 𝑆(1,2) (комплексными матрицами второго порядка с определителем +1) является вто же время спинорным представлением группы Лоренца. Отсюда следует, что каждому спинору пространства 𝑆(1,2) соответствует некоторая точка абсолюта пространства 𝑆(1,2), а каждой точке абсолюта пространства 𝑆(1,2) соответствует изотропная прямая пространства R(1,3), проходящая через некоторую точку этого пространства. Абсолют пространства Лобачевского 𝑆(1,2) гомеоморфен расширенной комплексной плоскости C ∪ {∞}.
Изложенное геометрическое истолкование спиноров и спинорных представлений было предложено Картаном [10] (см. также [6]).
В своей книге [11] Шевалле отмечает, что концепция понятия спинора,данная Картаном, является довольно сложной, а более простое представление теории, основанное на использовании алгебр Клиффорда, было предложено в статье Брауэра и Вейля [12].
В своём изложении алгебраической теории спиноров Шевалле следует статье [12]. Так, наряду с геометрической интерпретацией Картана возник алгебраический подход к описанию спиноров и спинорных представлений, далее развитый в работах [13–16]. Продуктивность и развитость алгебраического подхода показывает, что спинор по преимуществу является объектом алгебраической природы. Согласно алгебраическому определению, спинор задаётся элементом минимального левого идеала алгебры Клиффорда 𝐶ℓ(𝑉, 𝑄), где 𝑉 – векторное пространство, снабжённое невырожденной квадратичной формой 𝑄. При 𝑛 чётном минимальный левый идеал алгебры 𝐶ℓ(𝑉, 𝑄) соответствует максимальному тотально изотропному подпространству 𝑈 ⊂ 𝑉 размерности 𝑛/2, . е. изоморфен спинпространству S размерности 2𝑛/2 [17].
ЛИТЕРАТУРА
1. Farmelo G. The Strangest Man: The Hidden Life of Poul Dirac, Quantum Genious.New York: Basic Books, 2009
2. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853.
3. Grassmann H. Die Ausdehnungslehre. Berlin, 1862.
4. Clifford W.K. Applications of Grassmann’s extensive algebra // Amer. J. Math. 1878.V. 1. P. 350.
5. Lipschitz R. Untersuchungen ̈uber die Summen von Quadraten. Max Cohen und Sohn,Bonn, 1886.
6. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М. : ГИТТЛ, 1955. 744 с.
7. Cartan E. Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicit ́e plane// Bull. Soc. math. France. 1913. V. 41. P. 53–96.
8. Ван дер Варден Б. Принцип запрета и спин // Теоретическая физика 20 века. М. : Изд. ин. лит., 1962. С. 231–284.
9. Uhlenbeck G.E., Goudsmit S. Spinning Electrons and the Structure of Spectra //Nature. 1926. V. 117. P. 264–265.
10. Картан Э. Теория спиноров. М. : Изд. ин. лит., 1947. 223 с.
11. Chevalley C. The Algebraic Theory of Spinors. New York: Columbia University Press,1954.
12. Brauer R., Weyl H. Spinors in 𝑛 dimensions // Amer. J. Math. 1935. V. 57. P. 425–449.
13. Porteous I.R. Topological Geometry. van Nostrand, London, 1969.
14. Crumeyrolle A. Orthogonal and Symplectic Clifford Algebras, Spinor Structures.Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1991.
15. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001.
16. Riesz M. Sur certain notions fondamentales en th ́eorie quantique relativiste / C.R.10𝑒Congr ́es Math. Scandinaves (Copenhagen, 1946). Jnl. Cjellerups. Forlag, Copenhagen,1947, pp. 123–148.
17. Ablamowicz R. Construction of Spinors via Witt Decomposition and PrimitiveIdempotents: A Review / Clifford Algebras and Spinor Structures. Kluwer AcademicPublishers, 1995. pp. 113–1
PS. (30.07.2024) Появился английский перевод этой статьи, выполненный Аркадиушем Ядчиком (Arkadiusz Jadczyk, Ronin Institute, USA), размещенный в его блоге: https://ark-jadczyk.blogspot.com/2024/07/the-spinor-enigma.html
С Аркадиушем у нас много общих интересов, и это не только алгебры Клиффорда.
PS (23.03.202) В статье
более подробно рассмотрено геометрическое истолкование спиноров и спинорных представлений.