Друзья, привет! Сегодня разбираем ещё одну интересную и одновременно с этим полезную тему по математике - принцип Дирихле. Математики всего мира любят иллюстрировать принцип Дирихле на примере с кроликами и коробками. Мы также не будем отходить от этой традиции.
Формулировка
Предположим, что у нас есть m кроликов и n коробок, причём m > n ("m больше n"). Тогда верно следующее: если всех кроликов рассадить по коробкам, то обязательно найдётся хотя бы одна коробка, в которой окажется больше одного кролика.
Наглядное доказательство
Сначала рассадим по коробкам n кроликов - по одному в каждую. После этого останется m - n кроликов, которых нужно рассадить, причём m - n положительное число в силу условия. Так как все эти кролики должны быть размещены в тех же n коробках, нам придётся сажать их в уже занятые коробки. Значит, как минимум одна из коробок будет содержать двух или более кроликов.
Менее очевидное применение
На этом этапе вы можете подумать, что текущий принцип является очевидным. Доля правды в этом есть, но давайте рассмотим следующую задачу:
Докажите, что среди любых 2026 чисел найдутся два числа, разность которых делится на 2025.
Согласитесь, задача выглядит посложнее. Давайте обсудим её доказательство, для этого обратимся к теории чисел. При делении целого числа на произвольное целое положительно число m мы можем получить ровно m остатков: от 0 до m - 1 включительно. Далее заметим, что разность чисел, которые дают одинаковые остатки при делении на m, делится на m. Заметим, что так как в условии задачи 2026 чисел, а различных остатков при делении на 2025 ровно 2025, то как минимум два остатка по принципу Дирихле должны совпасть, а значит разность таких чисел будет делиться на 2025.
Если доказательство с первого раза не зашло, перечитайте еще раз или напишите вопрос в комментариях.
💬Такие задачи хорошо тренируют мозги и позволяют мыслить нестандартно. Изучить и повторить базу по математике и освоить ключевые принципы математического анализа и линейной алгебры вы можете в курсе математика для всех: курс для начинающих.
А если вы интересуетесь темой образования, то приглашаю вас в свой открытый Telegram-канал: https://t.me/analitiqtutor
Там вы найдете десятки актуальных постов по теме образования, онлайн-курсы по точным предметам и возможность задать свой вопрос выпускнику МГУ.