Математики Клаудия Февола из Inria Saclay и Анна-Лаура Заттельбергер из Института математики Макса Планка предложили смелую идею: использовать один и тот же геометрический «язык» для описания всего — от мельчайших элементарных частиц до структуры всей Вселенной. Их статья, опубликованная в журнале Notices of the American Mathematical Society, стала знаковой в растущей области позитивной геометрии, которая продолжает обогащать физику и математику, от алгебраической геометрии до анализа и комбинаторики.
Эта новая геометрия — не просто элегантный математический формализм. Она родилась из идеи, что взаимодействия частиц, которые раньше изображались через диаграммы Фейнмана как линии и точки, могут быть представлены как объемы многомерных геометрических объектов. Например, амплитуэдр, введённый Нимой Аркани-Хамедом и Ярославом Трнкой, уже доказал свою мощь в квантовой теории поля: взаимодействия частиц — это объёмы, прописанные языком позитивной геометрии.
На этой диаграмме Фейнмана электрон (e-) и позитрон (e+) аннигилируют, производя фотон (γ, представленный синей синусоидой), который превращается в кварк-антикварковую пару (кварк q, антикварк q̄), после чего антикварк излучает глюон (g, представленный зеленой спиралью).
Теперь этот же подход может работать и в космологии: начиная с самых ранних мгновений Вселенной, когда свет космического микроволнового фона впервые начал распространяться, и заканчивая распределением галактик сейчас. Геометрические структуры, называемые космологическими политопами, отражают взаимосвязи между различными участками времени и пространства. Позитивная геометрия становится универсальным языком, единым для описания и элементарного, и гигантского.
Эти открытия стали частью международной инициативы — проекта ERC Synergy Grant UNIVERSE+, возглавляемого Нимой Аркани-Хамедом, Даниэлем Бауманном, Йоханнесом Хенном и Берндом Штурмфельдсом. Проект стремится создать новую математическую систему для описания физики на всех масштабах, объединяя геометрию и физику в гармоничный диалог.
Само понятие позитивной геометрии — молодая, но уже мощная теория. Оно стимулирует интерес к глубоким вопросам: можно ли на её основе построить «Теорию всего», которая объединит квантовую механику и космологию? Многие исследователи видят в этом ключ к пониманию структуры Вселенной на самом фундаментальном уровне. Разумеется, путь от абстрактной геометрии к физическим экспериментам и прямым наблюдениям лежит через десятилетия упорной работы. Тем не менее сама перспектива выглядит по-настоящему вдохновляющей
В этом математическом контексте позитивная геометрия — не просто набор объектов, а язык, в котором формы и объёмы напрямую соответствуют физическим явлениям: интегралы Фейнмана, канонические формы, распределение галактических структур и столкновения частиц. Подобные визуальные и аналитические инструменты открывают новые пути для понимания Вселенной — от микрокосма до макрокосма.
