Преобразование Фурье также работает с объектами более высокой размерности, например с изображениями. Изображение в градациях серого можно представить как двумерную функцию, которая показывает, насколько ярким является каждый пиксель. Преобразование Фурье раскладывает эту функцию на набор двумерных частот. Синусоидальные и косинусоидальные волны, определяемые этими частотами, образуют полосатые узоры, ориентированные в разных направлениях. Эти узоры и их простые комбинации, напоминающие шахматную доску, можно сложить вместе, чтобы воссоздать любое изображение.
Например, любое изображение размером 8 на 8 можно составить из комбинации 64 базовых элементов, представленных ниже. Затем с помощью алгоритма сжатия можно удалить высокочастотную информацию, которая соответствует мелким деталям, без существенного изменения внешнего вида изображения для человеческого глаза. Именно так JPEG сжимает сложные изображения, значительно уменьшая объём данных.
В 1960-х годах математики Джеймс Кули и Джон Тьюки разработали алгоритм, который позволял выполнять преобразование Фурье гораздо быстрее. Он получил название «быстрое преобразование Фурье». С тех пор преобразование Фурье применяется практически при каждой обработке сигнала. «Теперь это часть повседневной жизни», — говорит Грингард.
Он использовался для изучения приливов и отливов, обнаружения гравитационных волн, а также для разработки радаров и магнитно-резонансной томографии. Он позволяет нам снижать уровень шума в аудиофайлах, а также сжимать и хранить всевозможные данные. В квантовой механике — физике очень малых величин — он даже обеспечивает математическую основу для принципа неопределённости, который гласит, что невозможно одновременно знать точное положение и импульс частицы. Вы можете записать функцию, которая описывает возможные положения частицы; преобразование Фурье этой функции опишет возможные импульсы частицы. Когда ваша функция может сообщить вам, где с высокой вероятностью будет находиться частица, представленная резким пиком на графике функции, преобразование Фурье будет очень растянутым. Будет невозможно определить, каким должен быть импульс частицы. Верно и обратное.
Преобразование Фурье нашло применение и в исследованиях в области чистой математики. Гармонический анализ, изучающий преобразование Фурье, а также способы его обратного преобразования для восстановления исходной функции, является мощным инструментом для изучения волн. Математики также обнаружили, что гармонический анализ имеет глубокие и неожиданные связи с теорией чисел. Они использовали эти связи для изучения взаимосвязей между целыми числами, в том числе распределения простых чисел — одной из величайших загадок математики.
«Если бы люди не знали о преобразовании Фурье, я не знаю, какая часть математики исчезла бы, — сказал Фефферман. — Но это была бы значительная часть».
Источник: https://www.quantamagazine.org/what-is-the-fourier-transform-20250903/
