Преобразование Фурье выполняет это для всех возможных частот, умножая исходную функцию на синусоидальные и косинусоидальные волны. (На практике это сравнение выполняется на комплексной плоскости с использованием комбинации действительных и мнимых чисел.)
Таким образом, преобразование Фурье позволяет разложить сложную на вид функцию всего на несколько чисел. Это сделало его важнейшим инструментом для математиков: если они не могут решить какую-то задачу, они могут попробовать преобразовать её. Часто задача становится намного проще, если перевести её на язык частот.
Если исходная функция имеет резкий скачок, как в случае с прямоугольным сигналом ниже (который часто встречается в цифровых сигналах), преобразование Фурье даст бесконечный набор частот, которые, будучи сложенными вместе, максимально точно аппроксимируют скачок. Этот бесконечный набор называется рядом Фурье, и, несмотря на то, что математики поначалу не хотели признавать его существование, сейчас он является важным инструментом для анализа функций.
