Человечество на протяжении всей своей истории сталкивалось с невидимыми, но смертельно опасными врагами — инфекционными заболеваниями. И когда мы представляем себе героев, которые спасают мир от этой угрозы, то думаем о врачах, биологах, но никак не о математиках. Однако именно они видят любую эпидемию во всём её масштабе, «ставят диагноз» всей стране, миру. Их оружие — эпидемиологические модели, благодаря которым исследователи научились заранее предугадывать, куда двинется инфекция дальше, словно шахматисты просчитывающие ходы противника. Ассистент Высшей школы проектной деятельности и инноваций в промышленности Политеха Петра Дарья Зубкова разобрала, как работает одна из самых используемых эпидемиологических моделей — SIR.
Модели эпидемий — это математические и вычислительные инструменты, которые помогают понять механизмы распространения эпидемий в популяции, спрогнозировать их развитие, оценить эффективность мер контроля, спланировать ресурсы здравоохранения.
Существует множество типов моделей, однако самой известной и распространённой считается SIR.
SIR-модель, разработанная Кермаком и Маккендриком в 1927 году, делит популяцию (N) на три группы в зависимости от состояния по отношению к болезни:
- S (Susceptible / Восприимчивые)
Люди, которые не болеют, но могут заразиться при контакте с инфекцией.
- I (Infectious / Инфицированные)
Люди, которые больны и могут передавать инфекцию восприимчивым.
- R (Recovered or Removed / Выздоровевшие или удаленные)
Люди, которые либо выздоровели и приобрели стойкий иммунитет (не могут заразиться снова и не передают инфекцию), либо умерли (удалены из популяции в контексте передачи инфекции).
При этом люди переходят только по цепочке: S → I → R, другой порядок шагов не подразумевается.
Классическая модель SIR
Скорость перехода между группами задается с помощью системы дифференциальных уравнений.
Ключевые параметры в этих расчётах
- β — коэффициент передачи инфекции, он зависит от заразности болезни и частоты контактов.
- γ — скорость выздоровления (1/γ = средняя длительность инфекционного периода).
- Базовое репродуктивное число R₀ = β / γ — среднее число людей, которых заразит один инфицированный в полностью восприимчивой популяции. Если R₀ > 1 — эпидемия будет расти, R₀ < 1 — затухнет.
- Эффективное репродуктивное число Rt или Reff — среднее число вторичных случаев заражения от одного заразного индивида в текущий момент времени t. Когда S(t)/N падает (много переболевших или вакцинированных), Rt падает ниже 1 и эпидемия прекращает рост.
Ключевые допущения
- Не учитываются рождения и смерти, кроме смертности от болезни, которая включена в R. Общая численность N = S + I + R постоянна.
- Все индивиды в популяции контактируют друг с другом случайным образом и с одинаковой вероятностью.
- Параметры передачи инфекции (β) и выздоровления (γ) постоянны во времени и не зависят от возраста, пола и т. д.
- Нет инкубационного периода, зараженный человек сразу становится заразным (I).
- Выздоровевшие (R) больше не могут заразиться.
Классическая SIR-модель полезна, но многие реальные болезни требуют учета дополнительных нюансов и ситуаций, поэтому появились различные модификации базовой модели.
Вариации модели SIR
- Модель SIS (Susceptible → Infected → Susceptible)
Для болезней, которые не дают стойкого иммунитета после выздоровления (например, гонорея, хламидиоз, некоторые респираторные инфекции). Таким образом, инфицированные выздоравливают и сразу становятся восприимчивыми снова: I → S.
- Модель SIRS (Susceptible → Infected → Recovered → Susceptible)
Для болезней, которые дают временный иммунитет после выздоровления (например, грипп, коклюш, некоторые другие респираторные инфекции). Добавляется обратный переход из R в S. Скорость этого перехода задается параметром σ (sigma) — скорость утраты иммунитета (1/σ — средняя длительность иммунитета).
- Модель SEIR (Susceptible → Exposed → Infected → Recovered)
Для болезней с длительным инкубационным периодом, когда человек какое-то время является носителем инфекции, но не может передать её другим (например, корь, ветрянка, COVID-19). Добавляется группа E (Exposed) — зараженные, но еще не заразные, находящиеся в инкубационном периоде.
- Модели с вакцинацией V
Для оценки влияния вакцинации на ход эпидемии. Добавляется группа V (Vaccinated) или учитывается динамика части восприимчивых сразу в вакцинированные. Однако после вакцинации иммунитет может угаснуть, и из вакцинированных можно также перейти в восприимчивые или в инфицированные, если вакцина не сработала.
Преимущества этих моделей состоят в относительной простоте для анализа, хорошем понимании динамики и фаз эпидемии, вычислении ключевых пороговых значений. А недостатки выражаются в однородном смешении популяции, где все контактируют со всеми одинаково, ограниченности прогнозирования, где не учитывается эволюция патогена, при этом также не принимается во внимание стохастичность событий. Эти модели плохо подходят для маленьких популяций или редких событий.
COVID-19 и игра в эпидемию
Благодаря простоте, SIR легко перестроить для нужной болезни, что упрощает задачу исследователям. К примеру, во время пандемии коронавируса на базе SIR ПИШ СПбПУ разработала модель для COVID-19, в которую добавили такие группы, как вакцинированные, находящиеся в инкубационном периоде и на карантине. Исследование проводилось на данных по Москве и Санкт-Петербургу, которые были взяты из открытого источника Stopcoronavirus.rf.
На графиках видно, что вычисленный сценарий почти идентичен реальной картине, что говорит о работоспособности модели.
Модель SIR послужила прототипом для известной игры Plague Inc. — компьютерной стратегии в жанре биологического симулятора, где ваша задача — распространить болезнь на всю популяцию. Конечно, модель в игре была модифицирована, поскольку учитывает различные меры борьбы с распространением вируса: закрытие границ (изоляция, карантин), вакцинация, разработка лекарств и многое другое.
Подписывайтесь на канал «Теория большого Политеха», чтобы видеть математику в действии в реальной жизни!
Что ещё почитать?