Эту задачу мне прислал подписчик в Телеграме. Думал, что она с какой-то олимпиады, но нет, оказывается эта задача навеяна поварской практикой. Подписчик, работая поваром, читает мой канал и даже сам придумал задачу, от чего она ещё ценнее и интереснее.
Хитрому школьному повару надо сэкономить сливочное масло. Есть конусообразный багет, меньший диаметр основания 10 см, а больший 15 см. Багет нарезали на 20 ломтиков высотой 1 см. Вопрос: сколько сэкономит повар сливочного масла, если будет его намазывать ровным слоем в 3 мм на меньшие по площади стороны ломтиков?
Сначала традиционно предлагаю подумать самостоятельно. А дальше будет мои рассуждения.
В теории всё просто. Нужно посчитать площади бОльших и меньших поверхностей у каждого ломтика багета и потом из суммы всех бОльших вычесть сумму всех меньших.
На практике же это пугающе долго, нужно и сложно. Но в действительности так только кажется и всё куда проще.
Весь секрет в том, что экономия масла зависит только от разницы площадей самого маленького и самого большого торцов всего багета! Почему? Объясняю.
1. Обычный способ намазывания масла: Масло намазывают на "большие" торцы каждого ломтика (те, что дальше от узкого конца).
2. Экономный способ: Масло намазывают на "малые" торцы каждого ломтика (те, что ближе к узкому концу).
3. Однако наблюдателей человек заметит, что "большой" торец одного ломтика точно такой же, как "малый" торец следующего ломтика! Когда мы складываем площади для экономии, почти все слагаемые взаимно уничтожаются (как в телескопической сумме).
Если вы это заметили, остаётся сделать только очень простой расчёт.
1. Найдем площадь самого маленького торца (у узкого конца):
• Диаметр = 10 см ⇒ Радиус (r₁) = 10 / 2 = 5 см
• Площадь (S₁) = π • (r₁)² = π • (5)² = 25π см²
2. Найдем площадь самого большого торца (у широкого конца):
• Диаметр = 15 см ⇒ Радиус (r₂) = 15 / 2 = 7,5 см
• Площадь (S₂) = π • (r₂)² = π • (7,5)² = 56,25π см²
3. Найдем разницу площадей: ΔS = S₂ - S₁ = 56,25π см² - 25π см² = 31,25π см². Эта разность площадей и есть суммарная разница между площадью всех "больших" торцов и площадью всех "малых" торцов по всему багету.
4. Рассчитаем экономию масла. Толщина слоя масла (h) = 3 мм = 0,3 см. Сэкономленное масло (ΔV) = Разница площадей (ΔS) • Толщина слоя (h). Подставляем и считаем: ΔV = 31,25π см² • 0,3 см = 9,375π см³ ≈ 9,375 • 3,1416 ≈ 29,45 см³.
Если в справочнике ещё посмотреть стандартную плотность сливочного масла, можно найти массу: 29,45 см³ • 0,91 г/см³ ≈ 26,8 грамм.
Это экономия на 20 бутербродах. Столько нужно для одного класса. Теперь представим, что в школе по три параллели каждого класса. Тогда экономия уже более значительная: 26,8 • 3 • 11 = 884,4 грамма. Каждый будний день. За месяц получается 884,4 • 22 (рабочих дня) = 19456,8 грамм. То есть почти 19,5 кг сливочного масла в месяц.
А теперь смотрим стоимость сливочного масла — примерно 250 рублей за 200 грамм. Выходит, что килограмм масла стоит 1250 рублей. А у повара 19,5 кг сэкономленного масла. Считай сэкономил около 24 000 рублей за месяц. Это на одном только масле.
Конечно на одном багете экономия не слишком большая, всего 33,5 рубля, но тем не менее.
Но давайте вернёмся к математическим вычислениям и ещё раз поймём, почему не нужно считать площади каждого ломтика.
Представьте все 20 ломтиков, выложенных в ряд от узкого к широкому концу:
Обычно мажут: S₂(1) + S₂(2) + S₂(3) + ... + S₂(20)
Экономно мажут: S₁(1) + S₁(2) + S₁(3) + ... + S₁(20)
Но S₁(1) = S₂(2), S₁(2) = S₂(3), ..., S₁(19) = S₂(20)! Подставляем и получаем:
Обычно: S₂(1) + S₂(2) + S₂(3) + ... + S₂(20)
Экономно: S₂(2) + S₂(3) + ... + S₂(20) + S₁(20)
Вычитаем из первой строки вторую:
[S₂(1) + S₂(2) + ... + S₂(20)] - [S₂(2) + S₂(3) + ... + S₂(19) + S₁(20)] = S₂(1) - S₁(20)
Все промежуточные площади S₂(2)...S₂(20) сократились! Осталась только разница между самым большим торцом (S₂(1)) и самым маленьким торцом (S₁(20)).
В конце по идее должна быть какая-то мораль. И в этот раз всё просто: если хочешь сэкономить, незаметно своровать или кого-то обмануть, учи математику. А если не хочешь быть обманутым или незаметно обворованным, тоже учи математику.
Если задача понравилось, ставь лайк, подписывайся на мой Телеграм (там подобные задачи появляются раньше и есть время подумать), а ниже ещё несколько примеров применения математики в реальной жизни. И да, подписывайся на мой Дзен Премиум, там я разбираю интересные олимпиадные задачи в видео: