Перед вами - пятая часть большой и, не побоюсь этого слова, фундаментальной серии статей, посвященных путешествию к предельным основам реальности. Глава 1 была здесь, а главы 2-4 тут. Вкратце напомню, что в прошлых главах, копая вглубь Мироздания, мы с вами увидели, что человек и общество обусловлены биологией, биология - химией, та - физикой, а в основе физики лежит математики. Теперь давайте копнем еще глубже и посмотрим, может ли вообще что-то быть в основе самой математики?
На математике можно было бы и остановиться, если бы не одно но. В девятнадцатом веке возник так называемый Кризис оснований математики. Лучшие умы человечества пытались понять на чем основана сама математика, как можно обосновать правильность её аксиом?
Привитая всем со школы идея о том, что аксиомы не надо доказывать не работает, когда дело касается большой науки. Если мы опираемся на то, что не надо доказывать, то мы принимаем это на веру. А что если наши аксиомы всё-таки неверны или как минимум неполны, неточны, недостаточны? Тогда разрушится всё здание науки. Поэтому, как поняли математики в XIX веке, саму математику всё-таки необходимо обосновать.
Один из величайших математиков в истории, Давид Гильберт, считал, что математика полна и непротиворечива, и ученые смогут это доказать и построить на основе математики прочное здание науки. В этом и заключалась его так называемая Геттингенская программа, которая основывалась на том, что математика является полной, непротиворечивой и разрешимой, то есть относительно любого математического утверждения можно однозначно установить, опровержимо оно или же доказуемо. Гильберт верил в истинность этих утверждений, но понимал, что их нужно всё-таки обосновать и доказать.
Однако попытки отыскать основания математики привели к катастрофе. В 1929–1931 годах австрийский логик Курт Гёдель доказал теорему о полноте исчисления предикатов первого порядка и две теоремы о неполноте формальных арифметических систем. В частности, первая теорема о неполноте утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Эти результаты показали фундаментальные ограничения формальных систем, достаточных для выражения арифметики. В дальнейшем, благодаря работам Тарского, Черча и Тьюринга, было установлено, что в таких системах невозможно одновременно обеспечить полноту, непротиворечивость и разрешимость: результаты Гёделя исключают полноту при непротиворечивости, а работы Черча и Тьюринга - алгоритмическую разрешимость.
Стало ясно, что оснований математики нам не найти, невозможно обосновать математику усилиями самой математики. Математика не смогла обосновать сама себя, подобно тому, как барон Мюнхгаузен не мог вытащить сам себя за волосы из болота.
Всё это означает, что за пределами математики должна быть система еще более глубокого уровня.
Назад: Главы 2-4