В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH и медианы AA1, BB1, CC1. Найдите сумму периметра и длин диагоналей четырёхугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и H, если AB=10, AC=11, ∠C=60∘.
Не растеряемся и все это начертим.
Теперь храбро выпишем что нам нужно знать для ответа и начнем понемножечку разбираться
С1Н=5
А1Н=
А1В1=5
С1В1=
В1Н=5.5
С1А1=5.5
А1С1 это средняя линия и равна она половине АС. А1В1 по той же причине половина АВ.
Теперь осталось более заковыристое. Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС. НВ1 в нем является медианой из прямого угла и равно гипотенузе - это 5.5. В1С тоже 5.5 и угол С=60, поэтому НВ1С равносторонний.
В1н=А1С1=5.5, при этом НА1 || С1В1 - значит, С1НА1В1 - равнобокая трапеция и С1Н=А1В1. При этом её диагонали делятся пересечением на 2 равнобедренных треугольника, но в нашем случае они равносторонние, потому что мы уже выяснили, что у треугольника НВ1С все углы 60 градусов.
А раз треугольники равносторонние, то А1Н и С1В1 являются сторонами этих треугольников, а их сумма есть диагональ трапеции, которую мы уже вычислили и она 5.5
Осталось все сложить
Ответ 26.5