🌌 Геометрия, которая описывает и элементарные частицы, и Вселенную
Можно ли одними и теми же уравнениями описать и столкновения элементарных частиц, и структуру всей Вселенной? Математики Клаудия Февола и Анна-Лаура Саттелбергер считают, что да. В своей недавней работе они исследуют подход под названием позитивная геометрия, где квантовая теория поля и космология встречаются на территории алгебраической геометрии.
В физике элементарных частиц уже давно используют диаграммы Фейнмана — графические схемы взаимодействий частиц. Обычно за ними стоят сложные интегралы, вычисление которых требует громоздкой математики. Позитивная геометрия предлагает альтернативу: вместо бесконечных рядов формул взаимодействие можно представить как объём особой многомерной фигуры, например амплитуэдра — геометрического объекта с богатой внутренней структурой, предложенного Нимой Аркани-Хамедом и Ярославом Трнка в 2013 году.
Эта идея оказалась полезной не только для физики высоких энергий. В космологии похожие методы применяют, чтобы изучать распределение галактик и слабые колебания космического микроволнового фона — следа «первого света» Вселенной. Здесь используются космологические многогранники — тоже положительные геометрические фигуры, которые позволяют восстановить законы, управлявшие ранней Вселенной.
Математическая основа этого подхода сложна: авторы опираются на алгебраическую геометрию (изучение решений систем полиномиальных уравнений), алгебраический анализ (работа с D-модулями, связанными с дифференциальными уравнениями), и комбинаторику (описание взаимного расположения элементов в этих структурах). Интегралы Фейнмана при этом оказываются тесно связаны с обобщёнными интегралами Эйлера, а их свойства можно изучать через геометрию многообразий, заданных полиномами графов.
Даже топология здесь играет роль: количество «базовых» интегралов в расчётах соответствует эйлеровой характеристике особых многообразий.
Главная идея позитивной геометрии в том, что она может стать универсальным языком для теоретической физики. Геометрические структуры естественным образом кодируют передачу информации между системами, связывая абстрактные математические объекты с конкретными физическими процессами.
